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干货 | 电容的安秒积和电感的伏秒积

2019-09-17
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《电工学》或者《电路分析》教材中,对电容的定义是这样的,如图(01),满足图(01)式的电路元件,就是电容。式中i和u都是时间t的函数,电容量C是常数。

图(01)
  
我们把dt移到左边,如图(02)。


图(02)
  
两边对时间积分,积分限从0到t。因为电容量C为常数,所以可提到积分号之外。


图(03)
  
我们来看看左边的积分结果和右边的积分结果是什么意思。
  
左边是通过电容的电流对时间的积分,意思就是电容在0~t这段时间内充或者放的电量,在国际单位制中单位是库仑,也就是安·秒。右边是du对时间的积分,这个积分结果可不是电压,而是在0~t这段时间内电压的增量Δu,也就是这段时间内电容两端电压的变化量。
  
我们再看看左边积分结果为零意味着什么。左边积分结果为零,右边当然也必须为零。C是不为零的常数,那么右边积分也必须为零,意思就是电压的增量Δu为零。也就是说,电容两端电压没有发生变化,电容恢复到时刻0的状态。

《电工学》或者《电路分析》教材中,对电感的定义如图(04),满足图(04)式的电路元件,就是电感。式中i和u都是时间t的函数


图(04)
  
我们把dt移到左边,如图(05)。


图(05)
  
两边对时间积分,积分限从0到t。因为电感量L为常数,所以可提到积分号之外。


图(06)
  
我们再一次来看看左边的积分结果和右边的积分结果是什么意思。
  
左边是电感两端的电压对时间的积分,但是物理学中并没有这么一个物理量。没办法,前人并没有考虑到另立一个物理量。但我们知道积分的结果在国际单位制中的单位是伏·秒,所以我们可以给这个积分起个名字叫伏秒积(它就相当于电容中电流对时间的积分,也就是电量,单位是库仑)。右边是di对时间的积分,这个积分结果可不是电流,而是在0~t这段时间内通过电感电流的增量Δ,也就是这段时间内电感中电流的变化量。
  
我们再看看左边积分结果为零意味着什么。左边积分结果为零,右边当然也必须为零。L是不为零的常数,那么右边积分也必须为零,意思就是电流的增量Δi为零。也就是说,电感中电流没有发生变化,电感恢复到时刻0的状态。
  
如果图(06)式中左边积分不为零,意味着什么?
  
如果左边积分不为零,例如我们对电感施加图(07)所示的矩形波脉冲电压,那么每个矩形波之后左边积分就增加一个固定的数量,同时每个矩形波脉冲到来之际电感中电流都会线性增加一个数值。但电感两端电压为零(也就是电感两端短路)那段时间里面电流并不变化(这段时间内左边积分为零)。于是电感中电流就会如图(07)中红色线所示,每个矩形波脉冲都会使电流增加,最后电感中电流上升到可能是很大的数值。电感中电流上升到很大的数值,要么电流与电感铜线电阻之积恰好与电压脉冲数值相等,电流停止上升,要么电流大到使电感烧毁。如果电感是具有铁芯的,那么很大的电流必将使铁芯进入磁饱和状态。


图(07)
  
只要把图(07)中电压改成电流,电流改成电压,对电容来说,上述结论仍然适用,即在若干个电流脉冲过后,电容两端电压不断上升,直到电容被击穿。
  
所以,无论是电容还是电感,要恢复到原来的状态,对电感来说,两端电压对时间的积分必须为零,对电容来说,通过电流对时间的积分必须为零。
  
这个结论对电子线路中的电感和电容都适用。无论是什么样的电子线路,其中元件必定是要恢复到原始状态的,至少关机一段时间后要恢复到开机前的状态。
  
电压或者电流波形的横轴是时间,纵轴是电压或者电流。电压或者电流波形与横轴所包围的面积,就是前述电压或者电流对时间的积分。
  
由此,无论对电感施加什么样的电压波形,包括你可以想像出来的最怪异的波形,其时间轴上方的面积必定与时间轴下方的面积相等。


图(08)

图(08)就是对称矩形波电压对时间的积分图像。图中黄色部分的面积必定与绿色部分的面积相等。


图(09)
  
波形不对称情况呢?波形不对称情况下,电感两端电压对时间积分,亦即横轴上方面积和下方面积仍然相等。
  
对正弦波、锯齿波……只要是你能够想出来的波形,电感在一定时间后恢复到原始状态,横轴上方和下方的面积必定相等。
  
换句话说,电感恢复到原始状态,电感两端电压与时间的乘积,也就是伏秒积,一定为零。
  
我们还知道:电感中电流与电感的磁通量直接相关,对空气芯电感,磁通量与电感中电流成正比,对铁芯电感,磁通量不大时磁通量也和电流成正比。所以上述结果也可以说成是:电感中磁通量恢复到原始状态,电感两端电压与时间的乘积,也就是伏秒积,一定为零。
  
以上是对电感两端电压伏秒积的分析。对多个绕组的电感——变压器,上述结论仍然适用。因为普通变压器各绕组是绕在同一个铁芯上的。


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