一文搞懂量纲和初等函数

量纲是什么？在中学的物理课程中通常就讲过，到大学物理课程中又讲过。但是，恐怕多数学生对量纲仍然是模模糊糊。
　　

我们知道，如果已经定义了时间和长度的单位，那么速度的单位就可以用时间和长度的单位来表示。例如，国际单位制中长度的单位是米，时间单位是秒，那么速度的单位是米/秒。一般地说，在某种单位制中定义了若干基本单位，那么其它单位就可以由这几个基本单位导出。
　　

要比较彻底地理解量纲，当然有多种方法，其中一个方法是看看“科普中国”怎么说。

图(01)
　　

物理量可分成基本量和导出量，基本量是独立的物理量，导出量是指其量纲可以表示为基本量量纲组合的物理量。前面举的速度单位为米/秒，长度和时间是基本量，速度是导出量。这样就建立了各个物理量之间的函数关系。
　　

国际单位制中，在力学中只需要三个基本量，也就是只需要三个基本单位。电磁学中除这三个力学中的基本单位外，还需要增加一个基本单位，国际单位制中增加安培为基本单位。热力学中还需要再增加一个基本单位，国际单位制中增加开尔文为基本单位。国际单位制中还有两个基本单位，一个是物质的量，单位是摩尔，一个是发光强度，单位坎德拉。
　　

某些物理教材在附录中或者在教材的开始，就列出了书中所使用的物理量单位和物理量的量纲。图(02)就是程守洙等《普通物理学》第一册所列出的一部分物理量单位和量纲。

图(02)
　　

量纲相同的物理量，并不一定是同一个物理量。例如图(02)中可以看到：能量和力矩这两个物理量的量纲相同，但能量和力矩显然不是同一个物理量。
　　

还有一些物理量，有单位，但其量纲为1，我们说这样的物理量为无量纲量。例如角度，单位为弧度(rad)，定义为弧长与半径之比。既然是两个长度的比，量纲显然是1，角度就是一个无量纲量，有时也叫做纯数。
　　

普通放大器有个参数叫电压增益，是输出电压变化与输入电压变化的比。既然是两个电压的比，量纲显然是1，电压增益也是一个无量纲量。类似地，放大器的电流增益量纲也是1，电流增益也是一个无量纲量。再往前推一点，双极型三极管共发射极电路，集电极电流变化量和基极电流变化量之比叫三极管的电流放大倍数，通常记为β，β的量纲为1，也是无量纲量。同样，三极管共基极电流放大倍数α，其量纲也是1，也是无量纲量。
　　
我们在中学物理和大学普通物理课程中学过不少函数，有幂函数、三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数。这些在数学上都叫初等函数。
　　

物理课程中学过的这些初等函数，除幂函数外，其它初等函数的自变量都必须是无量纲量。
　　

估计立刻会有人反驳说：哪有此事！最常见到的正弦交流电压表达式如图(03)，左边的字母u后面跟着括号，括号里面明明写着t，说明交流电压u是时间t的函数。这可是三角函数中的正弦函数。

       图(03)

不错，u后面的括号中是t，交流电压u是时间t的函数。但是我们来看看sin后面的括号。这个括号中是角频率乘以时间，再加上初相。角频率乘以时间是个角度，初相也是个角度，那么括号中是角度，而前面已经说过：角度的量纲为1，或者叫没有量纲。所以，正弦函数的自变量确实是无量纲量。至于交流电压u，是时间t的复合函数(时间t先乘以角频率，再求正弦，最后还要乘以峰值Um)。
　　

我们再来看看对数函数。

对数函数在电子行业中最常见的可能是分贝这个单位。

图(04)

图(04)中我们看到在分贝定义中对数函数的自变量是两个电压或者两个电流或者两个功率的比。既然是同类量的比，当然量纲为1，或者说是没有量纲，或者叫做纯数。
　　

最后我们看看指数函数。
　　

图(05)是阻容电路放电电压公式。
　　

电容两端电压确实是时间的函数，但是e的指数是个分式，分子是时间t，分母是时间常数(即RC之积)，两个时间相除，指数的量纲是1，或者说没有量纲。

图(05)
　　

三角函数、对数函数、指数函数我们都讨论过了，所以我们可以下结论：初等函数的自变量必须是无量纲量。
　　
不但初等函数的自变量必须是无量纲量，函数自身也是无量纲量。图(03)中括号内部分求正弦后仍是个纯数，或者叫无量纲量。该纯数乘以Um后才是交流电压瞬时值u。同样，图(05)中指数函数结果也是个纯数，或者叫无量纲量，乘以Uo后才是电容两端电压瞬时值。