数学在自动控制中的应用

1 引言
    随着工业自动化技术的发展，PLC／DCS系统在工业控制的自动化、生产设备运行的安全可靠性、生产工况监控的实时性、生产信息获取的自动化及准确性、改变操作人员的工作环境及减少他们的劳动强度、对故障的及时发现和排除等方面，起到越来越重要的作用。在自动化技术教学，尤其是PLS／DCS控制系统的教学中，学生对一些程序、算法较难理解，基于此，这里介绍数学在自动控制中的应用。

2 PLC对模拟量的处理
    用PLC控制模拟量，实际是将连续的模拟量转换成对应的数字量来控制操作。以伺服电机控制阀门的正反转为例说明。在现场工作环境较恶劣时，使用伺服放大器实现阀门自动控制会导致设备故障率高，因此在实际控制过程中，使用PLC程序模拟阀门控制中的放大和比较功能，再通过开关量输出模块，实现对阀门的无伺服驱动控制。当PLC用数字量给定值与反馈值相比较来控制电机动作时(另外还有执行机构的惯性等)，会使执行电动机不断的动作(正向或反向运转)，造成设备故障率高，寿命减少。而实际上，由于系统误差、人为因素，同时考虑到反馈滞后及控制对象等因素的影响，在控制中不必也不可能对小量的变化过于重视。
    PLC对“小量”的处理，使用一个叫“死区(Deadband)”的变量，在高级语言中，也叫做“槛值”，是指控制参数的变化量未超过此值时，设备无动作变化。其目的是使设备的动作不因控制参数的小量变化而改变，从而在满足控制要求的情况下，减少设备的频繁动作，从而减少设备的故障率，提高设备运转率和使用寿命。

3 模型建立
3．1 模拟量的离散化
    PLC／DCS控制系统使用的是数字量，而从现场采集的控制信息却是以模拟信号传输的，因此，需要进行D／A和A／D转换。D／A转换实际是将原本线性对应的连续函数转换成阶梯函数，A／D转换则是把数字信号转换成模拟量信号。

  设可控参数变量为X(浮点数)，其取值范围是[Xmin，Xmax]，具体到阀门，范围为[0．0，100．0]；对应的PLC控制变量为Y型(整型变量)，其范围是[Ymin，Ymax]，以施耐德的Quantum04310 PLC为例，范围为[0，4 095]；设阀门死区的大小为Xdb，对应变量Y的死区为Ydb，两者之间的关系为：

  
    则PLC的输出变量Yout与控制参数的实际值(阀门开度X)之间形成如下的对应关系：
   
    它们之间的对应关系如图1所示。

    如当Xdb=2．0时，取Ydb=80；当阀门开度X在52～53．9之间变化时，Yout=2 080。此模型也适用于所有模拟量的PLC控制，及邮资、话费等的控制。

3．2 控制过程
    无论是开环控制还是闭环控制，甚至是PID自动控制，都会用到比较。通过比较反馈值与实际给定值，用差的正负来控制设备的正转或反转接触器的吸合。此控制相当于一个符号函数，即：

  
    式中，X为实际给定值与反馈值的差，Y为输出结果。
    图2给出了X与Y两者之间的关系。当Y=1时(即差为正，给定值大于反馈值，阀门开度要加大)，正向接触器吸合，执行开阀门动作；当Y=-1时(即差为负，给定值小于反馈值，阀门开度要减小)，反向接触器吸合，执行关阀门动作；当Y=0时(即差为0，给定值等于反馈值)，不动作。

  所有使用时间(计时器)、速度等光滑控制的系统都使用类似的算法。

4 PLC控制实现
4．1 数据初始化过程
    图3为数据初始化过程(即阶梯化的过程)的984梯形图逻辑(即984LL)。上部分为阀门给定数据的初始化过程，保持寄存器401390存放给定值的数字量，计算结果；下部分为阀门反馈数据的初始化，输入寄存器300055存放反馈信号的数字量值。分别计算给定和反馈的阶梯值，并保存在 400634～400635和400639～400640中。200为死区值。

  根据减法功能块的工作原理，当中节点(给定值400635)小于上节点(反馈值400640)时，减法块上输出得电，驱动开阀门接触器吸合，如果在规定的时间内，执行器还未动作，则报警；同理，当中节点(给定值400635)大于上节点(反馈值400640)时，减法块上输出得电，驱动关阀门接触器吸合，如果在规定的时间内，执行器还未动作，则报警；当给定值400635等于反馈值400640时，减法块中输出得电，执行器无动作。这就是整个执行器控制的 PLC实现过程。
4．3 计时器和死区的设置
    在整个控制过程中，死区大小的确定很关键。死区应是从生产实践中得出的经验数据，它不能太小，太小就失去了其使用意义；太大则失去了控制本身的意义。一般将其设置在量程的1．5％～3％之间。最好不要超过5％。
    另一个重要数据是计时器的值。在该例中，计时器的值反映阀门从关闭到完全打开或从完全打开到关闭整个过程所需的时间(即时限)。实际应用中，计时器的值应略大于该时限值。此时间值还与阀门的机械性能等有关，如果抱闸过紧，动作执行的时间就会长些，尤其是故障发生时。不利于及时调节；抱闸过松，动作执行的时间会短些，则容易形成振荡，不利于控制。所以该数据也是经验和实践相结合产生的。
4．4 应用拓展
    速度(转速)、频率、喂料量等控制参数的给定与反馈，甚至温度、压力等参数的显示，都需要设置死区，这样，即使工作站屏幕的刷新频率再高，也不至于因数据变化太快而影响操作员对显示数据的记录和分析。目前的PLC／DCS控制软件中都包含此功能。合理地设置并灵活地使用死区，将会使模拟量的控制更加得心应手。

5 结束语
    这里的实例程序是某制造企业PLC系统改造时使用的梯形图逻辑程序。该系统经实际应用证明具有投资少、硬回路改造少，用图形操作站取代手操器，操作简便、用户界面友好、控制性能高等优点，已得到广泛的应用，具有较高的实用价值。将数学模型应用于控制方法教学中，可增强学生对控制实现过程的理解。