测量结果不确定度的估计与表达

近些年来,由于对测量结果不确定度的估计方法以及其表达形式在一些国家和不同科学领域中不一致,导致了不好相互理解和对测量结果的正确运用。我国计量学界自20世纪50年代以来所形成的至今基本上没有改变的习惯概念和数据的处理方式及测量结果的表达方式就面临着一个极大的、必须接受的变革。不少单位和地方已体察出这一形势,正在积极组织学习和探讨iso中《测量不确定度表达导则》的有关问题。

1 不确定度的a类评定

一般把总体看作是无限多个个体的集团,即无限总体(infinite population),并认为样本的大小(size)也就是样本中个体的数目越大,就越能准确地反映总体的待征。因此,取尽可能大的样本,由近似计算进行统计推断。在计量学领域,对同一个被测量在重复条件下或复现条件下每一次独立的测量结果就是一个样本,它是同一个被测量无穷多次测量结果(总体)中的一个。通过有限次数的重复测量结果,对无穷多次测量结果进行推断,这就是计量学中对不确定度的a类评定方法。测量结果的个数(也可以是平均测量结果)越多,对总体的推断越可靠,即通过它们所得出的实验标准偏差就越可靠,而测量结果应该是彼此尽可能地独立(往往不能充分独立),即这些测量结果彼此没有共同的、不变的、导致不确定度的因素。在整个测量程序中,一切应该重复调整的环节均应重复调整。这样得出测量结果之间的分散性,往往不会是单一随机效应所导致,而是若干条件下随机效应的综合。

1.1 a类评定的基本方法

对于一个被测量y来说,在重复条件或复现条件下进行独立的重复测量,按这样的测量列用贝塞尔公式计算出的实验标准偏差s(y)也就是a类标准不确定度,即s(y)=u(y),其自由度ν=n-l。所有用a类评定方法得出的不确定度也可按合成不确定度的计算方法计算成a类评定不确定度的合成不确定度νca[1]。由于在实际测量工作中重复条件不易保证,其中很主要的问题 在于观测人员的疲劳和测量环境条件的不稳定而导致重复的测量次数n往往极小,当然计算出s的ν就很小,且不可靠。这样得出的实验标准偏差s称为组合实验标准偏差,又称为合并样本标准偏差(pooled experimen-tal standard deviation),它等于组合方差的正根。一般用sp表示。sp的估计往往是由多个被测量在重复条件下所得到多个测量列得出的,也可以通过两组测量仪器 在重复条件下测得值之差来计算。

1.2 a类评定的其他简化方法

以下的几种简化方法是以测量结果接近正态分布为基础的。由于测量仪器的示值分布多种多样,而且差不多都与正态分布相距甚远。但是,如果用三次或四次重复条件下测量结果的算术平均值作为一个测量结果,则该测量结果就很接近正态分布了。这样测量列的数目n不应小于5个这样的平均结果[2]。

(1)最大残差法

式中:|ν|为测量列的残差绝对值;max|ν|为所有残差中绝对值最大的;cn为所用与n有关的一个因数,n可由表1查出。

(2)极差法

极差r为测量列中最大最小测量结果之差:

式中:dn是与n有关的一个系数,可由表2查出。

(3)彼得斯法

(4)分组极差法

对某一被测量按n次得到一组测量列,其中可得出这一列的极差。这样的独立测量共进行了m组(也可以是m个被测量的各一组),因此共有m个极差。取这些极差的平均值r:

以上用四种简化的计算方法所得s均为σ的无偏估计。最大残差法、彼得斯法和极差法所得s的自由度均小于n-1,按来计算。

例:在测长仪上对长度为150 mm左右的棒进行测量,在用测长仪上给出的标准短标尺的修正值对测量结果进行修正后,其他不确定度分量均可忽略不计,而主要只有测量结果的分散性为其测量不确定度。在重复条件下的8次测量结果如表3所示。

表3 测量结果

测长仪给出的修正值:k=+0.06 mm

修正后的测量结果为:

实验标准偏差s按贝塞尔公式计算:

这是单次测量结果的标准偏差。对于算术平均值来说(这里l为测量结果),其标准偏差为:

既可以认为它是这一测量程序的重复性,也可以认为它是a类标准的不确定度。如果其他不确定度分量可以忽略,则它乘以某个覆盖因子k后,即成为扩展不确定度u。在这个例子中0.03 mm所包含的随机效应所带来的不确定度分量实际并不只是一个,而是多个合成s(l)的自由度ν与用于计算s(l)的单次测量s(li)的自由度相同,均为8-1=7。

2 不确定度的b类评定

b类评定中所依据的如:计量器具的检定证书、标准、技术规范、手册上所提供的技术数据,往往是国际上所公布的常量与常数等。但这类信息也是通过统计方法得出的,只不过是给出的信息不全,不能满足实验人员直接用作测量不确定度的一个分量(分量一定要用类似或相当于a类标准不确定度分量所用的实验标准偏差给出),如只给出了一个极大值和极小值,即真值所处范围,而未提供其分布以及自由度的大小。根据现有信息对这一分量进行评定,包括近似的相应方差或标准偏差以及相应的自由度,就是不确定度b类分量的评定。

b类评定与实验人员的经验有关,因而有可能不同人员有不同的结论。这样估计的标准不确定度称为b类标准不确定度(type b standard uncertainty)。全部这类不确定度分量的合成,称为b类合成标准不确定度ucb(y)[1]。在不确定度的b类评定方法中,对于信息只给出了极大、极小这两个极限值的情况下,如何考虑其概率分布的问题是比较重要的。根据一些研究报告,有以下一些情况:轴尖支承式仪表的示值误差分布介于正态分布与均匀分布之间;数字电压表的示值误差分布呈双峰状态;磁电系仪表的示值分布与正态分布相差甚远。因此,对于一般计量器具来说,其示值的误差分布据中心极限定理,尽管y的测得值y的概率分布多种多样,但只要有足够的重复的次数(一般n≥4),其y的慨率分布就趋近正态。如果y受多个相互独立的随机影响量的影响,虽然这些影响量变化的概率分布可能各不相同,但当每个变量的影响均很小时,y的随机变化也将服从正态分布。此外,如果有4个以上大小相差并不太悬殊(例如:最大者与最小者之比小于或等于2)变量的概率分布,则也可认为合成分布是趋近正态的。

一般来说,在缺乏任何其他信息的情况下,假设它为均匀分布(或称矩形分布,rectangular distribution)。

(1)通过扩展不确定度u或up以及包含因子k或kp评定标准不确定度

如果xi的估计值来源于制造厂的技术说明书、检定证书、手册或其他技术文件,在这些资料中给出了其扩展不确定度u,并指明所用k值的大小(2或3)时,则标准不确定度为:

例:校准证书上指明标称值为10ω标准:电阻rs值(10.000 74±0.000 13)ω,并指明正负号后给出的值为扩展不确定度u99,则其标准不确定度:

(2)用数学方法的评定

数字式测量仪器分辨力是此类仪器示值不确定度的组成之一。例如即使重复指示都很理想,重复性所贡献的测量不确定度仍不会为零,因输入仪器的信号在某个给定区间内变动时,示值并不会发生变化。如指示装置的分辨力(resolution)为δx(一般称之为步进量),产生某一指示值x的激励源值在x-(δx/2)~x+(δx/2)区间内可以是任意的,且概率相等,因而可以考虑它是一个宽δx的矩形分布,其半宽a =0.5δx,标准不确定度。测量仪器的滞后(hystere-sis)现象会导致类似的不确定度。一台仪器的示值在连续读数时可能按一个固定的或已知的量增加或减少,有经验的观测人员可按读数情况采取适当的修正,但滞后现象并非总是能观察出的,有可能测量仪器在平衡点附近出现振荡,使示值与最终接近平衡点的方向有关。

如果由于这一效应导致的可能读数范围是δx,则方差仍是标准不确定度u=0.29δx量值的修正所带来的不确定度与对量值采用的修正间隔有关。设修正间隔为δx,通过修正导致的最大可能修正误差之模为0.5δx,即半个修正间隔,并可以估计在由0.5δx所构成的区间内,其分布为矩形,从而得出方差标准不确定度u =0.29δx。例:某观测人员测量一零件的长度以p=0.5的概率处于10.07~10.15 mm范围,并给出l=10.11±0.04 mm,意味着0.04 mm为p=0.5置信区间的半。假设l可能值为正态分布,则标准不确定度:u(l)=0. 04×1. 48 0. 06 mm,因此估计方差:

u2(l) = (0.04×1.48)2=3.5×10-3mm2

3 合成标准不确定度的评定

合成标准不确定度的评定分为相关与不相关的输入量。在把各个标准不确定度综合为合成标准不确定度时,要考虑这些分量之间的相关性。在两个随机变量之间,当它们变化时,如果表现出存在某种相依的关系,这种关系往往是并非其中某一个为自变量,而另一个为因变量,而是由于它们在某种程度上受同一量的影响而导致看起来似乎是相依的。在这种情况下这两个量就是相关的或非独立的。例如:都是由于温度所引起的两个不确定度分量,由于同一观测人员所导致的两个不确定度分量是由同一标准仪器所产生的两个不确定度分量。当然这样的情况,也可以存在于多个分量之间。有时两个本来并不相关的变量,因为对它们都进行了温度修正,而这个修正的依据是由同一温度计测出的,则他们的修正量就相关了,而且修正后的这两个变量也相关了。大多数统计学的相关只是线性相关,但也不排斥有时是非线性的。相关系数(correlation coefficient )是两个变量之间相互依赖程度的度量,它等于两个变量间的协方差cov(y,z)除以各自方差cov(y,y),cov(z,z)之积的正平方根[1]。两个随机变量的协方差是它们之间相互独立性的一种度量。随机变量y和z的协方差定义如下:

式中:e(y)与e(z)为变量y与z的期望值。若不相关的输入量是y为被测量y的估计值,即测量结果时,y的标准不确定度估计值则由输入估计值x1,x2,…,xn适当合成得到合成标准不确定变量,并表示为uc(y),方差表示为

式中:每个u(xi)都是标准不确定度,它们既可以用a类方法评定,也可以用b类方法评定;uc(y)是估计的标准偏差,表征y的可能值的分散性。例:a类标准不确定度u(u) =12μv,b类标准不确定度u(δu) =8.7μv;被测量u的最佳估计值u=0·928 571 v;附加修正值δu=0,由于即其全部灵敏度系数均为1,可得合成方差

而:uc(u) =15μv,相对合成标准不确定度uc(u)/u=16×10-6。

4 用合成标准不确定度给出的扩展不确定度

在国际计量局不确定工作组建议书inc-i(1980)中,已提出为了特殊用途可以对合成标准不确定度 uc(y)乘一个因子k,以便所得到的扩展不确定度有个较大的置信概率。合成标准不确定度uc(y)是可直接用于表示测量结果y不确定度的,但通过uc(y)给出的区间所能包含的被测量分布太少,特别是对某些商业、工业和涉及健康和安全的测量结果。对uc(y)乘了一个大于1的k因子后,不确定度称为扩展不确定度,符号为u。u = kuc(y)中,一般k值在2~3之间。当uc(y)和y所表征的概率分布接近正态分布时,而且uc(y)的有效自由度υeff较大时,可以认为:当k=2时,所形成的区间置信水平约为95%;当k =3时,所形成的区间置信水平约为99%。在分别处理a类和b类评定得到的标准不确定度时,单独表明a类和b类评定所得到的标准不确定度对合成标准不确定度的贡献可以分别用uca(y)和ucb(y)[3]。故有:

在采用相对标准不确定度分量u(xi)/xi来计算合成相对标准不确定度uc(y)/y时,其有效自由度按下式计算:

5 测量结果的表达形式

(1)被测量y的测量结果y取覆盖因子k得到其扩展不确定度u时,可采用下列三种形式之一。

例如:

y = y±u(k =2)

y+u≤y≤y-u(k =2)

y = y(u)(k =2)

在采用以上最后一种形式时,u值一般只给出其有效部分。如:1991年国际上公布的碳的相对原子质量ar(c)=12.011(1);1986年codata公布的普朗克质量mp=2.176 71(14)×10-8kg (k=1);基本电荷e=1.602 177 33(49)×10-19c (k=1)。但也可能给出,例如:

e=(1.602 177 33±0.000 000 49)×10-19c (k=1)

(2)当可以按给定置信概率p得到覆盖因子kp,并给出扩展不确定度up时,可采用下列三种形式之一。

例如:

y = y±up(p =0.95)

y+up≤y≤y-up(p =0.95)

y = y(up)(p =0.95)

例如:标称值100 mm的某标准量块中心长度的测量不确定度u0.99=0·20μm,可表达为:

l=(100.000 65±0.000 20) mm (p=0.99)

100.000 45 mm≤l≤100.000 85 mm (p=0.99)

l=100.000 65(20) mm (p=0.99)

(3)当用相对不确定度ur=u/y或up/y给出时,分别用y = y (1±ur) (k或p之值)计量单位一般只用一个,而且置于整个量值(包括u或up)之后,且不应写成例如:l=100.000 65 mm±0.20μm。除非采用非十进制的单位如: (∞),(∴),(“)。

6 结 语

测量的目的是确定被测量的值或获取测量结果,测量结果的质量是科学实验成败的重要因素之一。因此,当报告测量结果时,必须对其质量给出定量的说明,以确定测量结果的可信程度。测量不确定度就是对测量结果质量的定量表征,测量结果可用性很大程度取决于其不确定度的大小。所以,测量结果必须附有不确定度说明才是完整并有意义。尤其是在市场竞争激烈、经济全球化的今天,测量不确定度评定与表示方法的统一,乃是科技交流和国际贸易的迫切要求,它使各国进行的测量及其所得到的结果可以进行相互比对,必将推动科技进步,促进国际交流。