单片机浮点数的实用快速降法

    摘要：介绍一种在8096/96系列单片机上实现的单精度浮点数快速除法。该算法采用了预估一修正的数值计算方法，并充分利用了16位CPU中的乘除法指令，计算速度快、精度高，有很强的实用性。

    关键词：浮点数 除法 尾数 预估-修正 误差 精度

在较为复杂的单片机系统中，为扩大取值范围，实现复杂的计算和控制，一般都要涉及浮点数的运算。而一般单片机是没有浮点数运算指令的，必须自行编制相应软件。在进行除法计算时，通常使用的方法是比较除法[1],即利用循环移位和减法操作来得到24～32位商，效率很低。有些文献给出了一些改进方法[2]，但思想不清晰，很难推广使用。这里给出一种浮点数除法运算的实用快速算法。该方法以数值计算中的预估-修正方法为指导，充分利用了16位单片机的乘除法功能，很轻易地实现了浮点数的除法。

1 浮点数格式

IEEE的浮点数标准规定了单精度（4字节）、双精度（8字节）和扩展精度（10字节）三种浮点数的格式。最常用的是单精度浮点数，格式如图1所示。但是这种格式的阶码不在同一个字节单元内，不易寻址，从而会影响运算速度。

通常在单片机上采用的是一种变形格式的浮点数，如图2所示。其中的23位尾数加上隐含的最高位1，构成一个定点原码小数，即尾数为小于1大于等于0.5的小数。有关浮点数格式的详细内容请参考有关文献[1][2]。

2 快速除法的算法原理

在16位单片机中只有16位的乘除法，而浮点数的精度（即尾数的有效位数）达24位，因此无法直接相除，但依然可以利用16位的乘除法指令来实现24位除法。不过，如果只进行一次16位的除法必定会带来很大误差，因此问题的关键在于如何消除这个误差，从而达到要求的精度。这其实就是通常数值计算中所采用的预估-修正方法。

假设两个浮点数经过预处理后，被除数和除数尾数扩展为32位（末8位为0）分别放入X和Y中。邻YL为Y的低16位，并记YH=Y-YL。显然YH≈Y，X/Y与Y/YH相差不多：

（X/Y）/（X/YH）=(YH/Y)

=YH/(YH+YL)

=1/(1+YL/YH)

≈1-YL/YH

=(YH-YL)/YL

可见只需要在X/YH的基础上再乘以一个修正因子（YH-YL）/YH，就可以得到X/Y的一次校准值。不难证明这个值已经达到了24位的精度要求。事实上，相对误差满足：

    这说明这个一次校准值完全可以作为最终的结果。

3 算法的具体实现

在具体实现本算法时，主要经过下列步骤：

（1）计算预估值Q0=X/YH；

（2）计算修正因子Q1=(YH-YL)/YH;

（3）计算校准值Q=Q0×Q1，并作为最后结果。

这里的YH虽仍是32位，但其低16位已为0，计算时可以将它视为16位数，这不会影响计算精度。通过两次16位除法，就可得到精确的32位结果。例如，计算Q0时，第一次除法，X除以YH的高16位，得到的商为Q0的高16位，而16位余数末尾添0成32位，再除以YH的高16位，得到Q0的低16位（余数舍去）。由此得到了32位的Q0。

在具体运算中，X应选除以4（X左移2位），以保证Q0不会溢出（YH取高16位）：

Q0'=（Y/4）/YH≤(0ffffff00H/4)/8000H=7fffh

由于X为32位（末8位为0），这一操作不影响有效数字。而Q1（YH-YL）/YH≤1，不存在溢出的问题。最后计算校准值Q时，有Q=4Q0'Q1。

在计算Q0'、Q1时，均进行了两次16位除法，使得Q0'、Q1均为精确的32位，保证了计算过程中的精度，减小了累积误差。对于YL=0即除数只有16位有效数字的特殊情况，直接有Q1=1，还能省去两次16位除法。

在计算Q时，则通过3次16位乘法实现了32位乘法，取结果的高32位，即得Q。

整个算法至多只须用4次除法、3次乘法和5次加法，就求得了浮点数商的尾数，可见计算效率是很高的，保证了运算速度。

浮点数除法流程图如图3所示。

4 程序源代码

限于篇幅，只给出源代码中的关键部分，即有效数字的计算部分。

；被除数为x，除数为y

；用yh,hl分别表示y的高16位和低16位

...

；假设x，y的有效数字部分分别在（dx,cx）和（bx,ax）中

；计算预估值Q0'=（x/4）/yh

shrl cx,#2 ;计算x/4

divu cx,bx ;计算（x/4）÷yh

ld fx, cx ;把商暂放入寄存器fx,即Q0'的高16位有 ；效数字

clr cx

divu cx,bx ；把余数末尾添0后面再除以yh

ld ex,cx ；把商暂放入寄存器ex，即Q0'

；的低16位有效数字

；（fx,ex）=Q0'

;计算修正因子 Q1=(yh-yl)/yh

cmp ax,0 ;判断yl是否为0

jne getQ1 ;若yl非0，计算修正因数Q1

ld ax,ex ;若yl=0,修正因数Q1=1

ld bx,fx ；（Q0'×Q1）=Q0'，可以直接计算Q

sjmp getQ

getQ1:

ld hx,bx ;把yh放于寄存器hx中

neg ax

dec bx ;计算yh-yl

divu ax,hx ;计算Q1=(yh-yl)÷yh

ld dx,ax ；把商暂时放入寄存器dx，即Q1的高16位有；效数字

clr ax

divu ax,hx ;把余数末尾添0后再除以yh，得Q1的；低16位有效数字

ld bx dx ；（bx,ax）=Q1

；计算Q0'×Q1=(fx,ex)×(bx,ax),只取32位有效数字

ld hx,bx

mulu cx,bx,ex ;(dx,cx)=bx×ex

mulu ax,fx ；（bx,ax）=ax×fx

clr ex

add cx,ax

addc dx,bx

addc ex,0 ;(ex,dx,cx)=(dx,cx)+(bx,ax)

mulu ax,fx,hx ;(bx,ax)=fx×hx

add ax,dx ;(bx,ax)=(bx,ax)+(ex,dx)

addc bx,ex ;(bx,ax)=Q0'×Q1

;计算校准值Q=(Q0' ×Q1)×4并调整阶码

getQ:

...

代码到这里为止，浮点数商的有效数字已经全部求出。只要再执行一些调整浮点数阶码的操作，就可以得到最终结果。

在作者开发的一个80C196KC单片机系统中，涉及到了二进制-十进制数制转换、分段线性插值、数字滤波等大量浮点数的运算，都是靠加减乘除等底层函数来实现的。

此外，本算法思路清晰，因此很容易加以推广。例如，为了得到更高的精度，可取修正因子：

    则相对误差，转化为十进制，有效数字高达14位。