采用汇编语言的BCH解码校验算法

　　在信号传输中，BCH码以其独特的优点被广泛应用于微机级的通信中，但因其算法复杂，通常只用在动态实时的无线通信中，而对更底层的单片机级的信号传输纠错，往往只采用奇偶校验等简单的校验方法。本文结合一些测控系统和监控系统的开发，摸索出了在实时动态单片机中的BCH解码检纠方法，并通过汇编语言加以实现，取得了一定的效果。下面以BCH（15，7）码为例进行探讨。

1  BCH码在单片机中的放置结构

　　BCH码作为一种检纠能力较强的循环码，由信息多项式i(x)和监督多项式j(x)组成。这里以c(x)表示整个BCH(15,7)码的15位码组多项式，则有：

　　在单片机中其放置的具体结构如下：

　　其中，7位信息位放入寄存器R3中，8位监督位放入寄存器R4中。

2  BCH解码校验原理

　　二元BCH(15,7)码的解码校验原理是在时域上直接利用码的代数结构进行解码。首先，由于BCH(15,7)码的纠错能力t=2，所以根据接收序列计算伴随式sk=r(αk)，其在伽罗华域GF(24)上的规定连续根为α、α2、α3、α4。与其对应的伴随式分别为： s1=r(α)，s2=r(α2)，s3=r(α3)，s4=r(α4)。

　　然后，由伴随式计算差错定位多项式[1]的系数。在二元BCH码中，对于任何值都有s2k=s2k；同理可推，s4=s24=s41，s6=s23等。所以在求差错定位多项式的系数时，仅须用到奇数下标的伴随式值。就BCH(15,7)码而言，根据s1和s3这两个伴随式值便可计算出差错定位多项式的2个系数： σ1=s1和σ2=s3+s31  s1。

　　最后，依据Chien氏搜索算法对码的每个位置逐位检索，以确定其错误位置。若s1=s3=0，则可判定无差错发生；若s31+s3=0，则有1个差错发生，错码位置就是s1；若有2个或2个以上的差错发生，则可按σ1αi+σ2α2i=1（i=0,1,2,…，14）进行搜索。若在搜索中找到的根少于2个，则说明该多项式有的根在定位域之外，这表明发生的差错已超过2个；若找到的根恰好等于2个，则表示刚好有2个差错发生，可根据差错位置予以纠正。经差错定位找到差错位置后，便可进行纠错了。纠错的原理相对来说比较简单，因为单片机处理的是二进制数，而二进制数只有2个状态，即不是“0”就是“1”，因此纠错只须将对应差错位取反。

3  BCH解码校验算法的汇编语言实现

　　具体的解码程序采用单片机的汇编语言实现，包括1个主程序和6个子程序。主程序的工作流程是整个程序的主线，决定着解码的效率；而子程序则是为了提高主程序在伽罗华域上代数运算的效率，优化主程序的程序结构。主程序的清单如下：

　　MOV03H，R3
　　MOV04H，R4
　　MOVR1，#60H；错误位置初始地址
　　MOVR7，#00H；出错个数初始值
　　MOVR0，#00H；Chien氏搜索的初始值
　　LCALLS1；调用s1=r(α)子程序
　　MOVA，71H
　　CJNEA，#00H，L1；s1≠0
　　LCALLS3；调用s3=r(α3)子程序
　　MOVA，70H
　　CJNEA，#00H，L1；s3≠0
　　LJMPRIGHT；送至解码输出程序
L1：MOVA，71H
　　MOV78H，A；s1的矢量值
　　LCALLTAB2；s1的指数
　　MOVB，A
　　RLA
　　ADDA，B；得到s31的指数
　　LCALL DIV15；调用模15求余子程序
　　LCALL TAB1；s31的矢量值
　　XRLA，70H；（s31+s3）的矢量值
　　MOV73H，A
　　CJNEA，#00H，L2；s31+s3≠0
　　LJMP CORRECT；s31+s3=0，纠1位错
　　LJMPRIGHT；送至解码输出程序
L2：MOVA，73H
　　LCALL TAB2
　　MOV74H，A；(s31+s3)的指数
　　MOVA，71H
　　LCALL TAB2
　　MOV76H，A；76H中放s1的指数
　　MOVA，74H
　　SUBA，76H
　　JCL3
L4：MOV75H，A
　　LJMPL5
L3：ADD74H，#0FH；进行求逆
　　MOVA，74H
　　SUBA，76H
　　LJMPL4
L5：MOVA，R0
　　LCALL TAB2
　　MOV7CH，A；7CH中放αi的指数
　　ADDA，76H；s1αi的指数
　　LCALLTAB1；s1αi的矢量值
　　MOV77H，A
　　MOVA，7CH
　　RLA
　　MOV79H，A；79H中放α2i的指数
　　ADDA，75H；σ2α2i的指数
　　LCALL TAB1；σ2σ2i的矢量值
　　XRLA，77H；(σ1αi+σ2α2i)的矢量值
　　CJNEA，#01H，L6
　　MOVR1，#60H
　　MOVA，R0
　　MOV @R1，A；将错误位置放入60H单元中
　　INCR1
　　INCR7
L6：INCR0
　　CJNER0，#0FH，L5；判断搜索完否
　　CJNER7，#02H，L7；错误个数是否为2
　　MOVA，60H；将第1个错误位置放入60H单元中
　　MOV78H，A
　　LCALL CORRECT
　　MOVA，61H；将第2个错误位置放入61H单元中
　　MOV78H，A
　　LCALL CORRECT
　　LJMPRIGHT；送至解码输出程序
L7：MOV80H，#01H；置超出纠错标志
　　END

　　供主程序调用的有6个子程序，其中2个是查表程序[2]，2个是求s1和s3的程序[3]，另外2个分别是纠错程序和求余程序。纠错程序和求余程序较为简单： 纠错程序只须先判断出差错位置，然后将对应的差错位进行取反操作；求余程序则是用于处理指数相加的结果大于15时出现的情况。相对关键的是查表程序和求伴随式值程序。查表程序为BCH码的有限域运算提供了便利，表1中按α指数的递增顺序列出了有限域内的矢量值；表2中按矢量的递增顺序列出了对应的α指数。

表1  指数对应的矢量

　　据此α的指数与对应的矢量值便可实现相互查找，具体程序如下。

①  查表1： 指数表示→二进制矢量表示。

　　TAB1： ADDA，#30H
　　　　MOVR5，A
　　　　MOVA，@ R5
　　　　RET

②  查表2： 二进制矢量表示→指数表示。

　　TAB2： ADDA，#40H
　　　　MOVR6，A
　　　　MOVA，@ R6
　　　　RET

　　这里以s3为例，给出求伴随式值程序的实现方法，其他伴随式可依此类推。因为s3=r(α3)，所以先判断03H中的内容，若为1，则向寄存器B中送入(α3)14=α42=α12（指数按模15运算）对应的二进制矢量值（1111），否则送0；而后依次判断接收的其他各位，若第2位也为1，则将（α3）13对应的二进制矢量值与B中的内容模2加，否则B中内容不变，直至判断到第15位。由于将s3展开后，其展开式按α0、α3、α6、α7和α12的规律重复出现了3次，因此毋须判断至第15位，只需判断至第5位，循环3次即可实现。

结语

　　至此，通过上述主程序和子程序的软件编解码方法，有效地实现了BCH码的差错检验、差错查找和差错纠正。该BCH解码的汇编程序，经实践检验，不失为单片机级的信号传输中较好的应用程序。它可以对多位的随机差错进行检错和纠错，具体位数的多少仅受单片机工作频率的限制，而与方法无关。