矩阵形式的节点电压方程

在第二章中已讨论过用节点电压法（又称节点电位法）来求解电路。对于不太复杂的电路，可用手工方法来直观地建立节点电压方程组，然后求出各节点电位和支路电流。本节介绍用系统方法来建立矩阵形式的节点电压方程组。在采用计算机辅助分析求解电路问题，如对大规模集成电路的分析计算时，这种方法有较大的优越性。

在讨论实际电路问题的时候，首先必须定义一个能代表一般支路结构的典型支路，

图 7-6-1

图7-6-1所示为通常采用的不含受控源情况下一种典型支路结构，它由支路元件（电阻、电感及电容），独立电压源和独立电流源所组成，支路电流，支路电压，及和的参考方向作如图所示的规定。在实际电路中，如果某条支路不包含独立电压源或独立电流源，则可令对应的或为零。

对于图7-6-1所示的一般性支路，在正弦稳态情况下，可写出其支路电压电流关系式，有：

     （7-6-1）

则对于包含有b条支路的网络，可写出各支路电压电流关系式为：

     （7-6-2）

把上式写为矩阵形式，有：

        （7-6-3）

式中，为支路电压列向量矩阵；为支路电流列向量矩阵；与为支路中独立电流源与独立电压源列向量矩阵。Z为支路阻抗矩阵，当电路不包含受控源时，它为一对角矩阵，即有：

     （7-6-4）

对式（7-6-3）两边左乘支路阻抗矩阵的逆矩阵，并解出支路电流列向量为：

         （7-6-5）

式中，称为支路导纳矩阵。当Z为对角阵时，Y也为一对角阵，且有：

          （7-6-6）

或：        （7-6-7）

对式（7-6-5）两边左乘关联矩阵A，考虑到矩阵形式的基尔霍夫电流定律，有：

即有：

由支路电压与节点电位之间的关系式，上式可写为：

      （7-6-8）

或：

        （7-6-9）

式中，称为节点导纳矩阵。上二式即为矩阵形式的节点电压方程，为待求的节点电位列向量矩阵，式中其余各矩阵元素均可根据求解网络的实际电路结构和参数，对照典型支路所规定的参考方向分别系统地列写出来。解式（7-6-9）矩阵方程，可解得节点电位值，进而求出支路电压值，再由式（7-6-5）求出支路电流值。一般在用矩阵形式的节点电压方程解题时，包含以下几个主要步骤：

       （1）作有向图，标出各支路电压电流参考方向；

       （2）对各支路，节点编号；

       （3）选定参考节点，建立关联矩阵A；

（4）参照一般性支路（典型支路）的结构和方向，分别写出支路导纳矩阵Y，支路电压源列矩阵及支路电流源列矩阵；

（5）根据式（7-6-9）解出节点电位列向量；

（6）由求出支路电压，由式（7-6-5）求出支路电流，并求出支路中流过元件（阻抗Z）的电流。

例7-6-1  电路如图7-6-2a所示，各支路阻抗值，电压源及电流源均如图。试建立矩阵形式的节点电压方程式。

解： 电路的有向图及参考方向见图7-6-2b。选节点④为参考节点，则可写出其关联矩阵A为：

图 7-6-2

电压源向量

电流源向量

支路导纳矩阵

然后写出其节点导纳矩阵为：

最后可得矩阵形式的节点电压方程式为：

由上可看出，用系统方法建立的节点电压方程式与第二章中用观察法直接列写的结果是完全相同的。虽然在简单电路的解题中并未体现其特点，但对于大型网络，可由计算机自动生成方程组。上面的过程可由计算机完成。

上面讨论的例子中未包含受控源的情况，如果考虑受控源情况，则矩阵方程的形式要复杂得多。由于受控源有四种形式，且在电路中控制变量可能是支路电压电流，也可以是元件电压电流（见上面讨论的典型支路），因此想写出一个包含所有情况的一般性方程形式就会变得很复杂。下面仅分别讨论包含元件电流控制的电压源与元件电压控制的电流源二种情况。

图 7-6-3

在一般支路中，若包含有元件电流控制的电压源，则一般支路形式如图7-6-3所示。图中为第j条支路中流过元件的电流，, 为控制系数。若设一个有b条支路的电网络，其中第k支路中有一个受j 支路元件电流控制的电压源，其方向如图7-6-3所示，则k支路电压方程为：

        （7-6-10）

而其余支路电压方程完全与式7-6-2相同。写出该电路的各支路电压方程式组，并用矩阵形式表示为：

   （7-6-11）

或记为：

       （7-6-12）

上式与不包含受控源时的形式完全相同，其差别在于支路阻抗矩阵Z。对于包含有元件电流控制的电压源情况，其支路阻抗矩阵Z中第k行（受控电压源支路号）第j列（控制电流支路号）位置出现一个受控源控制系数。此时支路阻抗矩阵Z不再为对角阵，但其矩阵方程表达式却与不含受控源完全相同，因此其求解过程也与上面介绍的完全一致。由此可见，对于包含元件电流控制电压源情况，在列写矩阵形式节点电压方程时，只需把受控源控制系数写入支路阻抗矩阵的对应位置，其余步骤与不含受控源完全相同。   

例7-6-2  电路如图7-6-4所示，各元件参数及电源情况标于图上，支路1与2之间存在互感，设，试建立矩阵形式的节点电压方程。

解：互感现象可看成是某一支路控制电流在另一支路中产生的受控电压源，其控制系数即为互感值。画出电路的有向图如图7-6-4b所示，节点及支路编号如图，选节点④为参考节点，可写出其关联矩阵为：

把互感电压作为元件电流控制电压源，控制系数为，参照典型支路图7-6-3，可写出支路阻抗矩阵为：

图 7-6-4

支路导纳矩阵为：

最后可得矩阵方程为：

如果网络中包含有元件电压控制的电流源，其一般支路形式如图7-6-5所示。对于这种形式的电路，可直接列写出支路电流表达式为：

     （7-6-13）

图 7-6-5

式中，表示由j支路中元件电压控制k支路中电流源的受控源控制系数。与上面分析受控源情况相同，若b条支路中k支路有一受支路j元件电压控制的电流源，则可写出各支路电流方程式，并用矩阵形式表示为：

     （7-6-14）

或写成：

      （7-6-15）

可见对于元件电压控制的电流源情况，可直接列写支路导纳矩阵，把相应的受控源控制系数写入到Y的对应位置。其余的计算方法与不包含受控源情况完全相同。