DC-DC变换器非线性混沌现象研究

1 引言

　　DC－DC变换器是开关电源的核心技术，实际运行中常常会出现一些奇异或不规则现象，诸如临界运行的突然崩溃、不明的电磁噪声、控制系统的间歇振荡、系统运行的不稳定和系统无法按设计要求工作等等。这些现象由来已久，然而长期以来人们都把它们归纳为系统故障和外界随机干扰，影响了DC-DC变换器的研究、设计和开发，使得DC－DC变换器性能的提高受到极大的限制。
　　众所周知，DC－DC变换器是一个固有开关非线性系统，因此变换器运行必然遵循非线性运行规律。现有的研究表明已被观察到DC-DC变换器的奇异或不规则现象是一些典型的混沌现象 [1]。显然当DC－DC变换器工作在混沌状态时，混沌运动的貌似随机性将导致系统的运行状态无法预测，使DC－DC功率变换器的控制性能受到极大的影响，甚至完全不能工作。因而突破现有在线性范围内或稳定运行区域内研究DC－DC变换器的局限性，从非线性系统混沌理论的高度探索DC－DC变换器的运行规律，对有效地提高DC－DC变换器运行性能，具有重大的理论和实际意义。
　　通过对各种DC－DC变换器的混沌现象探索和研究，可以达到如下重要的目的：（1）在变换器设计中优化参数设计，避免有害混沌现象的出现，消除奇异或不规则现象，使DC－DC变换器稳定运行；（2）由于混沌运动中存在很多不稳定的周期轨道，可以采用混沌控制技术，控制DC－DC变换器工作在预期的周期轨道上，从而实现周期轨道的快速变换，使DC－DC变换器的工作性能超常规的提高；（3）利用DC－DC变换器的混沌特性实现常规控制难以实现的技术，如利用混沌功率谱特性降低DC－DC变换器中的电磁干扰、利用混沌同步特性实现DC－DC变换器的均流技术、利用混沌运动的初值敏感性提高DC－DC变换器的动态响应特性等。
　　为此本文将在简要介绍非线性混沌理论基础上，归纳DC-DC变换器混沌运动的基本类型，总结现有DC-DC变换器混沌运动的研究方法，综合DC-DC变换器混沌现象的抑制或控制技术，提出非线性混沌运动在DC-DC变换器应用的研究思路。

2 DC－DC变换器中的混沌现象

　　长期以来，对客观事物运动规律的描述，一直采用确定论和概率论两种体系，确定论的基础是牛顿力学，用以描述事物的确定性运动；而概率论的基础是统计学，用以描述事物的随机运动，代表性的成果是量子力学。确定性运动和随机运动被认为是泾渭分明、毫无关系的两种类型的运动，确定性运动可以用确定性方程所描述，随机运动只能用统计学规律所描述，没有人怀疑它们之间存在由此及彼的关系。直到上世纪60年代初，美国气象学家Lorenz在对大气对流模型作数值计算时，首先发现了耗散系统中的混沌运动，即发现确定性系统可以产生类似随机的运动，从而使人们有理由认为许多以往被视为随机的运动可能是由确定性系统所产生，确定性运动与随机运动可能存在某种必然的联系，存在由此及彼的关系。因而混沌运动也被视为上一世纪自相对论和量子力学的第三大重大发现，Lorenz也成为第一个针对现实物理系统进行混沌研究的科学家。
　　混沌运动的发现，使人们开始重新审视以往许多已被定论的研究成果，几乎涉及各个科学研究领域，都在证实确定性运动与随机运动的关系，取得了许多重大的研究成果，澄清了许多重大现象的实际产生原因，并应用混沌特性实现了许多常规定律无法取得工作特性。然而令人遗憾的是对电力电子系统混沌现象的研究，直到上个世纪90年代初才开始引起少数学者的关注，但至今还主要停留在对DC-DC变换器混沌运动的研究上。究其原因，一是电力电子系统本身的非线性复杂性，建立其分析模型十分困难；二是电力电子系统自身还处在一个发展时期，由于其强的应用性，许多基本的问题未得到有效的关注，从而未被解决；三是电力电子系统研究思路，大多还局限于拓扑结构的研究上，以及实际应用上，研究思路尚未转变；四是电力电子系统研究方法上，仍采用传统的电路分析理论，对其它新科学理论不够敏感；五是非线性混沌理论自身仍处在一个完善和发展时期。因而使得对电力电子系统混沌运动的研究处于起步阶段，也没有引起人们广泛的关注和兴趣。
　　尽管如此，对DC-DC变换器混沌运动的研究也以取得重要的成果，其中对DC-DC变换器混沌运动的基本类型已有深入的了解，归纳起来，DC-DC变换器混沌运动有以下基本类型：
　　1、 倍周期分岔混沌运动
　　倍周期分岔是DC-DC变换器最常见和基本的一种现象,其特性表现为随着变换器参数的变化,系统运动规律从周期运动转变为倍周期运动,然后进入混沌运动。Buck变换器以及电流模式控制下的Boost变换器都会出现倍周期分岔的混沌运动。
　　2、 Hopf分岔混沌运动
　　Hopf分岔混沌运动是指DC-DC变换器随参数变化，由稳定不动点转换为周期振荡直至混沌的DC-DC变换器混沌现象。电压模式控制下的Boost变换器、电流模式控制下的Cuk变换器都可以产生Hopf分岔混沌运动。
　　3、 准周期分岔混沌运动
　　准周期分岔混沌运动是指DC-DC变换器随参数变化，出现以某个频率为基生成的一系列周期运动的叠加运动，并由此使DC-DC变换器进入混沌状态的现象。PWM电压模式控制下的Boost变换器以及DC-DC变换器开环控制在外施正弦扰动激发下、闭环DC-DC变换器在反馈参数的变化下可以产生准周期分岔混沌运动。
　　4、 边界碰撞分岔混沌运动
　　边界碰撞分岔混沌运动是指DC-DC变换器，从某个周期状态突然跳跃混沌状态。Buck变换器以及电流模式控制下的Boost变换器以及积分电流反馈控制的Buck变换器，在一定参数条件下都可以发生边界碰撞分岔混沌运动。

[page]3 DC－DC变换器混沌现象的研究方法

3．1建模方法

　　DC－DC变换器有六种基本形式，其中进行混沌现象研究较多的是buck、boost变换器和 变换器。由于以往的发展起来的大信号模型和小信号模型不适合于非线性现象的研究，因而不同阶数DC－DC变换器混沌建模就成为它们混沌现象研究最重要的内容。

3.1 .1一阶系统

　　当Buck和Boost变换器的负载是恒压源；或者当与负载并联的电容C足够大时；或者当Buck和Boost变换器处于不连续工作模态时，Buck和Boost变换器的数学模型就可以用一阶状态方程表示。
　　Hamill和Jeffries首先对DC－DC变换器的混沌现象进行了理论分析。文中的研究对象是电流型PWM Buck变换器，它以恒压源为负载，电路工作于连续模态。由系统的一阶状态方程推导出续流电感L上的电流迭代式：。其中D是功率开关管的占空比，和分别是变换器的输入电压和输出电压。根据上述迭代式，用计算机仿真得出系统主要变量的相图，显示了系统由倍周期分岔通向混沌的道路。
　　随后Deane和Hamill研究了电压型PWM Buck变换器负载并联电容足够大情况下的混沌现象[2]。通过解析的方法得到以下迭代式：

（1）
　　其中可根据方程：确定。该方程是超越方程，无法求解。系统是否稳定要根据相图的梯度确定的。结论是为了使该系统稳定运行，必须保证时，；时，，其中，是三角波电压，v是输出电压，是参考电压，A是反馈系数。据此条件可以确定系统稳定运行的输入电压的范围，若超出参数范围，系统运行中会出现多脉冲现象。
　　以上对一阶DC－DC变换器混沌模型的研究，都是在某些假定条件下进行的，因而与实际情况尚有一定差异。 

3.1.2 二阶系统

　　当Buck和Boost变换器工作于连续模态，同时电容C不可忽略时，DC-DC变换器数学模型就要用二阶状态方程表示，所以称之为二阶DC－DC变换器系统。此时该数学模型更接近实际的DC-DC变换器，但是系统的分析比一阶系统困难，一般无法用解析的方法，只能用数值方法进行分析。Fossas和Oliver给出了电压型buck变换器周期1和周期2轨道的数学分析，描述了变换器运行中存在的次谐波、分岔和奇怪吸引子，并对其进行了数值分析。其它一些文献则采用频闪映射的方法进行研究。频闪映射是最常用的一种相图法，除此之外还有同步切换映射、异步切换映射和成对切换映射。使用相图法可以很直观的定性说明变换器运行的特性，是Buck和Boost变换器二阶系统研究可以采用的方法，但目前尚没有广泛的应用，为进一步推广这些相图分析方法，以下将分别加以介绍。
　　(1)　频闪映射
　　频闪映射是通过在每个锯齿波周期开始时刻对系统轨迹取样，得到一系列离散的点而获得的。其主要思想是确定一个初值，以此初值为变量求解下一周期的解，如此不断反复，最终得到所需精度的解f (n+1)。因此只要求得f (n+1)与f (n)之间的关系式，就能确定DC－DC功率变换器运行的发展状况，可以采用bisection法或牛顿－拉夫逊法等不同的迭代法获得f(n+1)。频闪映射虽然因为直观和构造方便而得到了广泛的应用，但在开关周期T的整数倍时刻，变换器可能没有相位切换，而出现周期跳跃的现象，这时频闪映射不能正确的加以区别，采用同步切换映射的方法可以解决这个问题。
　　(2) 同步切换映射
　　在开关切换周期T整数倍时刻对状态向量采样得到同步切换映射。以k表示采样时刻，则同步切换映射可以写为如下形式：

（2）
　　其中和表示和时刻之间相应状态的跳跃周期的数目。因为在发生周期跳跃现象时不对变量采样，所以可以解决频闪映射不能区别跳跃周期的问题。实际上，当和都为零时，同步切换映射就是频闪映射。
　　(3) 异步切换映射
　　连续模态的PWM DC－DC变换器开关状态的转换可以用方程：的解来表示，其中和是反馈系数。此方程的解中，不是周期T的整数倍的解定义为异步切换时刻。所谓异步切换映射就是一对异步切换时刻和与之对应的状态变量，与下一对异步切换瞬间和与之对应的状态变量之间的关系：，m表示第m个异步开关时刻。这种离散映射法也适用于其它所有的基本拓扑。
　　(4) 成对切换映射
　　成对切换映射在描述多脉冲行为时有良好的效果。多脉冲就是在一个周期内出现几次开关切换的现象。不管变换器的工作状态如何，系统总是从状态2（或1）切换到状态1（或2），然后又到状态2（或1），如此反复。若定义为从状态1转换到状态2的时刻，并以此为初始时刻，则系统保持状态2到时刻；在时刻到时刻系统保持状态1。因此可以认为系统状态是按照“状态2－状态1”或是“状态1－状态2”的序列进行切换的。设，可得：

　　假设，则由上式可得到异步切换映射。
　　成对切换映射可以认为是分析二阶变换系统的最普通的映射，其基本的映射是唯一的。

3．2分析方法

　　DC-DC变换器混沌现象是一种复杂的非线性运动，具有自身特殊的动态特性，其研究需要借助一些特殊的非线性分析方法，下面介绍几种最常用也是最有效的方法。

3.2.1功率谱

　　混沌状态的特性之一是具有连续的宽带频谱，通过功率谱分析可以对混沌进行识别。但这种方法在实验过程中及自然状态下具有一定的局限性。因为实际条件下系统中存在的噪声会与混沌相混淆，所以连续宽带频谱只能作为混沌存在的必要条件，而非充分条件。而数值计算研究中因为不会引入外部噪声，所以可将连续宽带频谱作为混沌存在的一个判据。计算机上的快速傅立叶变换Fast Fourier Transform（FFT）和实时频谱分析仪的普及，使得功率谱分析变得简单易行。此方法已应用于DC-DC变换器的非线性现象研究，在数值研究及实验研究两方面均发挥了重要作用。

3.2.2庞加莱截面和分叉图截面和分叉图

　　基于离散映射可得到反映系统动态过程的庞加莱截面，以及由此衍生的奇怪吸引子[10,12,13]和分叉图。系统的混沌运动是一个复杂的动态过程，研究其相轨是及其困难的，需要构造庞加莱截面来研究。因为各种动态过程反映在庞加莱截面上的结构具有各自鲜明的特点，如周期运动对应为一个或有限个点，准周期运动对应一个环面，而混沌则对应具有一定结构的、在相空间占据有限范围的奇怪吸引子，于是就能很容易地区分不同的运动状态。分叉图是选择庞加莱截面的某个状态变量作为分叉图的其中一维坐标，另一维则是分叉参数。于是通过分叉图即可总览系统随参数变化而发生的动态特性的变化。

3.2.3 Lyapunov指数

　　动态系统的相邻轨道在系统演化过程中可以拉伸和压缩，其速率可能在相空间中各点不同，只有对运动轨迹各点的拉伸或压缩速率进行长期平均，才能刻画动态系统的整体效果，这就是Lyapunov指数的概念。正的Lyapunov指数刻画了混沌系统的主要特征，它表明：运动轨迹在每个局部都不稳定；相邻轨道以指数的速率分离；轨道在整体性的稳定因素（有界、耗散）作用下反复折叠，形成混沌吸引子。N维映射有n个拉伸或压缩方向，各方向分别对应一个Lyapunov指数。 

[page]4 DC-DC变换器混沌发展方向及未来应用

4．1 混沌控制

　　DC-DC变换器混沌控制是一个新的概念和尝试，借助已发展起来的混沌控制方法如参数扰动法（特别是OGY方法）、纳入轨道和强迫迁徙方法、工程反馈控制方法以及智能控制方法等等，可以实现对DC-DC变换器混沌现象的消除、抑制或利用，已引起了非常广泛的注意和兴趣。
　　DC-DC变换器的混沌控制也取得了一定的成果。Roberto等人将OGY方法用于控制简单的一阶boost电路获得了成功，C.Batlle等人应用延迟反馈法来控制buck变换器，并得到控制参数的取值范围的解析条件。此外，Banerjee又提出了两种完全不同的控制方法：外加参数扰动法和开关切换控制法，对buck和boost变换器的成功控制说明了方法的可行性。DC-DC变换器的反混沌控制研究则尚处于起步阶段。

4．2 利用混沌功率谱特性提高电磁兼容性

　　DC/DC开关变换器最主要的电磁干扰源，来自其较高的工作频率（一般都达到几十kHz，最高可以达到几百kHz）和非线性的开关特性对周围的电磁环境的影响。此外开关变换器电路设计不当、元件选择不当以及结构布局或布线不合理都将造成的电磁干扰及使电磁干扰增大。
　　目前，抑制DC/DC开关变换器电磁干扰的措施，主要是采用附加硬件的技术，如利用金属或高分子材料屏蔽开关变换器电磁藕合辐射；利用电阻型、电介质型和磁介质型吸波材料将开关变换器所产生的电磁辐射能量转化为其它能量（主要是热能）而耗散掉；利用各种滤波器或用高功率因数整流器抑制开关变换器传导电磁干扰，以及利用接地、浮置、光电耦合、PCB板布线技术减少电磁干扰传播和发射。这些技术应用的最大缺点是增加开关变换器成本和体积，都没针对变换器的实际情况有根据开关变换器的特点，从机理上根本抑制开关变换器电磁干扰的产生。国外一些学者也试图从机理上解决功率开关变换器电磁干扰问题，如采用软开关技术减少功率开关管的开关电压、电流应力，改进功率开关变换器的PWM工作方式以减少高频电压电流的谐波，但仍然无法回避附加硬件、增加成本和体积的问题。
　　对电磁干扰特性的研究表明，若能使电磁干扰的能量均布在整个频谱范围，就能消弱电磁干扰的峰值，使DC/DC开关变换器电磁干扰得到抑制。非线性系统混沌特性研究表明，它具有连续频谱的特性，即在相同的电磁传输功率条件下，频谱平均分配在较宽的范围内，因此，混沌固有均布频谱的功能，可以利用混沌来提高DC/DC开关变换器的电磁兼容能力。显然，该种方法的优点在于无须外加设备，节约了成本。目前，虽然对DC/DC开关变换器混沌频谱特性还没有更深入的理解，但提供了应用混沌特性解决DC/DC开关变换器EMI的一个的研究思路，是一个值得探索的研究方向。

4．3 利用混沌同步特性进行均流控制

　　DC-DC变换器的并联均流一直是提高变换器容量、可靠性及降低成本的关键问题，采用混沌同步特性，可以使两个系统的输出特性保持一致，因而可以利用来实现DC-DC变换器的并联均流，其优点是成本低、均流特性好，无需附加其他硬件，只需在控制策略上加以改进。

4．4 利用混沌初值敏感性提高动态特性

　　混沌因为其对初值的敏感性，具有非混沌系统所没有的优越性。对混沌的系统，通过对其参数的微小改变就可以使其稳定于混沌吸引子中的某个周期轨道，或者使系统在不同的周期轨道间进行切换，这些周期轨道都是原系统运动方程的解，所以实现控制只需要很小的控制信号，即很小的能量，而无须改变系统的整体结构。但对于非混沌系统，小扰动只能轻微地改变系统的动力学。由于稳定的周期运动可塑性差，缺乏任意选择状态的灵活性，因此在设计系统时，让系统运行于混沌态（即反混沌）对取得易变性是非常有益的。近年来，反混沌控制开始成为一个研究热点。这方面的成功例子是美国国家航空和宇宙航行局National Aeronautics and Space Administration（NASA）的科学家们利用天体力学问题对扰动的敏感性，只用了少量的剩余肼燃料，在实现其主要任务后把太空船ISEE-31/C送到了距太阳8千万英里的地方，首次实现了与彗星的碰撞。
　　因而给DC-DC变换器动态响应的研究提供了一条新的思路。

[page]5 结论

　　对DC-DC变换器混沌现象研究仅仅是一个开始，还有许多问题尚待解决。但可以预计，随着对DC-DC变换器混沌现象研究的进一步深入，DC-DC变换器运动本质将被认识的更加深刻，DC-DC变换器的运行特性将在此基础上进一步提高，由此产生一些全新的DC-DC变换器设计技术和应用技术，使工业界受益。

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