压控电压源二阶巴特沃斯高通滤波器的优化设计

    巴特沃斯高通滤波器因为其具有通带内幅频响应平坦的特点而被广泛应用，其中二阶高通滤波器既是常用单元又是组成高阶高通的基本单元，其常见的电路形式主要有无限增益多路反馈式(MFB：Multiple Feed-back Circuits)和压控电压源式(VCVS：Voltage-Contralled Voltage Source)。VCVS式高通滤波器具有增益容易控制、同相输出、所需要的精密电阻和电容元件较少、输出阻抗低、对运放性能要求较低等优点。
    有关VCVS二阶高通滤波器的设计在许多资料中都有介绍，主要方法有查表法、图示法和计算法。但目前资料上介绍的方法都存在一些不足：查表法、图示法只能取到一部分值，不能满足普遍情况，而且使用不方便；有些设计是先确定电阻阻值，再查图表或计算匹配电容，而这样特定的电容比较难找到，定制这样的电容花费的时间较长、成本较高，且电容精度比电阻精度难以保证；还有就是查表法、图示法和部分计算法没有给出必要的理论根据和通用表达式，使用者不明白其依据，难以放心使用，更不适合教学。并且这些方法都未提及所设计滤波器的稳定性问题。
    文献虽然谈到了滤波器稳定性的问题，但只是对于VCVS式和MFB式低通进行了比较，并未分析如何优化滤波器的设计方案。文献对VCVS二阶低通滤波器的优化设计进行了研究，并得出了最优化设计方案。但未提及高通滤波器的优化设计。
    本文以VCVS二阶巴特沃斯高通滤波器的优化设计为例，采用MathCAD对VCVS二阶巴特沃斯高通滤波器进行详细分析，并用电路仿真软件Multisim-10对理论分析结果进行仿真，证实所提出的优化设计方案稳定可靠。

1 VCVS二阶高通滤波器的设计
1．1 VCVS二阶高通设计
    图1是基本的VCVS二阶高通滤波器，由基尔霍夫电流定律可以推导其传输函数为：
   

    其中α、β是二项式系数，代表不同的滤波特性，由式(1)、 (2)、 (3)可得：

    至此，原则上讲，选定C1和C2后可以由式(2)、(5)、(7)、(10)、(11)设计任意特性的VCVS二阶高通，但实际工作中，特别是有关信号分析的应用中经常使用的是通带内放大倍数稳定为1的单位增益巴特沃斯高通滤波器。
1．2 VCVS二阶单位增益巴特沃斯高通设计
    对于巴特沃斯滤波器，其二项式系数，根据所需要的转折频率f0，计算ω0=2πf0；对于单位增益AF=1，式(5)～(12)可简化为：
   
2 VCVS二阶单位增益巴特沃斯高通设计的优化
    由式(8a)～(11a)原则上就可以完成VCVS二阶单位增益巴特沃斯高通滤波器的设计，其中优先选取的是电容C2，下面的问题是如何选取两个电容比值k。
2．1 k 值的选取
    k 值的选择应该存在一个使计算和元件选配都方便的选择。由式(10a)、(11a)可知，此值为k=1。此时可以先根据转折频率、电容的标准系列值和保证电阻在中等大小范围内的经验公式选取C2：

    为保证增益为1，并为运放负端提供地回路，同时补偿运放失调，取：
   
    在运放失调较小时，Rf、Rr可简单地取：Rr≈10k，Rf=0。
    具体制作时可直接挑选2个等值C2的电容和3个等值R2的电阻(其中一个作R2，另2个并联作R1)。
    k=1这一取值，不仅计算方便，还具有元件选取方便、可操作性强和低成本的优势。由于元件是相同规格，订制和装配成本都低，不易发生装配错误，而且先确定的相对较贵、精度较难保证的电容，即放宽了对电容的要求，而需要匹配的是精度容易保证价格较低的电阻，成本又会降低一些。另外，由于是同规格器件，温漂和老化规律一致，若选取电阻和电容变化方向相反的器件，还可以进一步保证其长期稳定性和温度稳定性。
2．2 稳定性分析
    k=1无疑是方便、低成本的选择，但k=1时构成的滤波器稳定性如何，需要分析和验证。
    很明显，完全满足参数方程(8a)即δ=0的就是理想的VCVS二阶单位增益巴特沃斯高通，若δ偏离0，也就偏离了理想状况。
    令R2=rR1，由式(4)、 (8a)可得
   
    采用MathCAD作出误差δ随k、r变化的等值曲线，如图2所示，δ=0曲线是理想曲线，其附近曲线密集的地方表示更容易偏离理想情况。

    由图2可知k=1附近等值线最稀疏，也就是最稳定。所以，设计方便、成本最低的k=1设计方案，恰好也是最稳定的方案。

3 稳定性验证
    由上节的理论分析可见，优化设计的结论是k=1时VCVS二阶单位增益巴特沃斯高通具有方便、可行、低成本并且稳定的优势，下面对其稳定性用仿真分析加以验证。
3．1 Multisim-10仿真验证
    以设计截止频率为100kHz的VCVS二阶单位增益巴特沃斯高通滤波器为例，按上述方法，具体设计步骤是：取，如1nF，又C1=kC2，由式(10a)、(11a)、(13a)计算出R1、R2、Rr。具体设计数据见表1。

    采用Multisim-10电路仿真软件，对表1所设计的高通滤波器进行参数扫描分析，仿真界面见图3，XFG1作用是产生输入信号，XSC1作用是输入输出波形检测，XBP1作用是观测输出特性曲线。

    为突出偏差，假设4个参数C1、C2、R1、R2分别变化±20％，并设置为三点线性扫描，即对每个元件值都取-20％、0、+20％三值分析传输函数。为了方便比较，将仿真数据导出后用MathCAD按同一规格画出对应的高通传输曲线，并突出特征频带区。如图4～7，横坐标频率统一为10kHz～1MHz，纵坐标是增益。

    若电容C1变化，其高通特性曲线如图4。C1正负变化时的特征曲线围绕C1取理论值的曲线的两边分布，且在经过转折频率份f0之后偏移方向反转，即相对C1准确的理想曲线，C1变小时，在f0之前传输函数G偏小，经过f0点后G反转为偏大。k越远离1，在通带内偏离理想曲线越远，结论是C1变化时传输函数G与k有关，在通带内，取k=1时对应的滤波器稳定性最好，最不易偏离理想值。
    由图6、7可见，R1和R2两电阻变化时传输函数G与k取值无关，只与电阻变化幅度有关，从电阻角度看k=1的选择是合理的。

4 结语
    在理论推导VCVS高通传输函数的基础上，得到了此类高通设计通式(5)～(12)，经分析其单位增益巴特沃斯高通的通式特点，提出了一个计算方便的方案：先按经验式和电容标准系列值确定C2的取值，按C1=C2选定C1，此两电容容值相等；再按式(12a)计算电阻取值，R1=0.5 R2，R1可由两个相同的R2并联构成，由于器件规格相同，元件选配方便、装配方便、订制方便且成本较低，并且容易补偿温漂。
    采用MathCAD对VCVS二阶单位增益高通参数方程进行误差等值图进行分析，发现C2／C1在1附近误差等值线最稀疏，因而最稳定，即对器件不敏感，通过Multisim-10电路仿真对此方案设计的高通滤波器进行了稳定性验证分析，结果表明该方案设计的高通同时也具有稳定的优点，性能令人满意，具有较好的实用价值，目前看来不失为优化方案。