单片机快速开平方的算法

C语言中开平方的算法中要开平方的话,可以在头文件中加#include .然后调sqrt(n);函数即可.但在单片机中要开平方.可以用到下面算法:        

  算法1: 

  本算法只采用移位、加减法、判断和循环实现，因为它不需要浮点运算，也不需要乘除运算，因此可以很方便地运用到各种芯片上去。  

我们先来看看10进制下是如何手工计算开方的。  

先看下面两个算式，  

x = 10*p + q  (1)  

公式(1)左右平方之后得：  

x^2 = 100*p^2 + 20pq + q^2 (2)  

现在假设我们知道x^2和p，希望求出q来，求出了q也就求出了x^2的开方x了。  

我们把公式(2)改写为如下格式：  

q = (x^2 - 100*p^2)/(20*p+q) (3)  

这个算式左右都有q，因此无法直接计算出q来，因此手工的开方算法和手工除法算法一样有一步需要猜值。  

我们来一个手工计算的例子：计算1234567890的开方  

首先我们把这个数两位两位一组分开，计算出最高位为3。也就是(3)中的p，最下面一行的334为余数，也就是公式(3)中的(x^2 - 100*p^2)近似值  

       3    ---------------    | 12 34 56 78 90       9    ---------------    |  3 34  

下面我们要找到一个0-9的数q使它最接近满足公式(3)。我们先把p乘以20写在334左边：  

       3  q    ---------------    | 12 34 56 78 90       9    ---------------  6q|  3 34  

我们看到q为5时(60+q*q)的值最接近334，而且不超过334。于是我们得到：  

       3  5    ---------------    | 12 34 56 78 90       9    ---------------  65|  3 34    |  3 25    ---------------          9 56  

接下来就是重复上面的步骤了，这里就不再啰嗦了。   

这个手工算法其实和10进制关系不大，因此我们可以很容易的把它改为二进制，改为二进制之后，公式(3)就变成了：  

q = (x^2 - 4*p^2)/(4*p+q) (4)  

我们来看一个例子，计算100(二进制1100100)的开方：  

      1  0  1  0    ---------------    | 1 10 01 00      1    --------------- 100| 0 10     | 0 00     ---------------    |   10 011001|   10 01    ---------------            0 00  

这里每一步不再是把p乘以20了，而是把p乘以4，也就是把p右移两位，而由于q的值只能为0或者1，所以我们只需要判断余数(x^2 - 4*p^2)和(4*p+1)的大小关系，如果余数大于等于(4*p+q)那么该上一个1，否则该上一个0。  

下面给出完成的C语言程序，其中root表示p，rem表示每步计算之后的余数，divisor表示(4*p+1)，通过a>>30取a的最高 2位，通过a<<=2将计算后的最高2位剔除。其中root的两次<<1相当于4*p。程序完全是按照手工计算改写的，应该不难理解。  

unsigned short sqrt(unsigned long a){  

  unsigned long rem = 0;  

  unsigned long root = 0;  

  unsigned long divisor = 0;  

  for(int i=0; i<16; i++){  

    root <<= 1;  

    rem = ((rem << 2) + (a >> 30));  

    a <<= 2;  

    divisor = (root<<1) + 1;  

    if(divisor <= rem){  

      rem -= divisor;  

      root++;  

    }  

  }  

  return (unsigned short)(root);  

}   

算法2 :单片机开平方的快速算法  

因为工作的需要，要在单片机上实现开根号的操作。目前开平方的方法大部分是用牛顿  

迭代法。我在查了一些资料以后找到了一个比牛顿迭代法更加快速的方法。不敢独享，介  

绍给大家，希望会有些帮助。  

1.原理  

因为排版的原因，用pow(X,Y)表示X的Y次幂，用B[0]，B[1]，...，B[m-1]表示一个序列，  

其中[x]为下标。  

假设：  

   B[x],b[x]都是二进制序列,取值0或1。  

   M = B[m-1]*pow(2,m-1) + B[m-2]*pow(2,m-2) + ... + B[1]*pow(2,1) + B[0]*pow  

(2,0)  

   N = b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-2]*pow(2,n-2) + ... + b[1]*pow(2,1) + n[0]*pow  

(2,0)  

   pow(N,2) = M  

   (1) N的最高位b[n-1]可以根据M的最高位B[m-1]直接求得。  

   设 m 已知,因为 pow(2, m-1) <= M <= pow(2, m)，所以 pow(2, (m-1)/2) <= N <=  

pow(2, m/2)  

   如果 m 是奇数，设m=2*k+1,  

   那么 pow(2,k) <= N < pow(2, 1/2+k) < pow(2, k+1),  

   n-1=k, n=k+1=(m+1)/2  

   如果 m 是偶数，设m=2k,  

   那么 pow(2,k) > N >= pow(2, k-1/2) > pow(2, k-1),  

   n-1=k-1,n=k=m/2  

   所以b[n-1]完全由B[m-1]决定。  

   余数 M[1] = M - b[n-1]*pow(2, 2*n-2)  

   (2) N的次高位b[n-2]可以采用试探法来确定。  

   因为b[n-1]=1，假设b[n-2]=1，则 pow(b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-1]*pow(2,n-2),  

2) = b[n-1]*pow(2,2*n-2) + (b[n-1]*pow(2,2*n-2) + b[n-2]*pow(2,2*n-4)),  

   然后比较余数M[1]是否大于等于 (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4)。这种  

比较只须根据B[m-1]、B[m-2]、...、B[2*n-4]便可做出判断，其余低位不做比较。  

   若 M[1] >= (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 则假设有效，b[n-2] =  

1；  

   余数 M[2] = M[1] - pow(pow(2,n-1)*b[n-1] + pow(2,n-2)*b[n-2], 2) = M[1] -  

(pow(2,2)+1)*pow(2,2*n-4)；  

   若 M[1] < (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 则假设无效，b[n-2] =  

0；余数 M[2] = M[1]。  

   (3) 同理，可以从高位到低位逐位求出M的平方根N的各位。  

使用这种算法计算32位数的平方根时最多只须比较16次，而且每次比较时不必把M的各位逐  

一比较，尤其是开始时比较的位数很少，所以消耗的时间远低于牛顿迭代法。  

2. 实现代码  

这里给出实现32位无符号整数开方得到16位无符号整数的C语言代码。  

-------------------------------------------------------------------------------  

/****************************************/  

/*Function: 开根号处理                  */  

/*入口参数：被开方数，长整型            */  

/*出口参数：开方结果，整型              */  

/****************************************/  

unsigned int sqrt_16(unsigned long M)  

{  

    unsigned int N, i;  

    unsigned long tmp, ttp;   // 结果、循环计数  

    if (M == 0)               // 被开方数，开方结果也为0  

        return 0;  

    N = 0;  

    tmp = (M >> 30);          // 获取最高位：B[m-1]  

    M <<= 2;  

    if (tmp > 1)              // 最高位为1  

    {  

        N ++;                 // 结果当前位为1，否则为默认的0  

        tmp -= N;  

    }  

    for (i=15; i>0; i--)      // 求剩余的15位  

    {  

        N <<= 1;              // 左移一位  

        tmp <<= 2;  

        tmp += (M >> 30);     // 假设  

        ttp = N;  

        ttp = (ttp<<1)+1;  

        M <<= 2;  

        if (tmp >= ttp)       // 假设成立  

        {  

            tmp -= ttp;  

            N ++;  

        }  

    }  

    return N;  

} 

以上都是网络查找的资料，有些晦涩难懂，不过在实际运用中可以使用这些算法。