IEEE 754标准

浮点格式可分为符号位s，指数位e以及尾数位f三部分。 

其中真实的指数E相对于实际的指数有一个偏移量，所以E的值应该为e-Bias，Bias（127）即为指数偏移量。这样做的好处是便于使用无符号数来代替有符号的真实指数。尾数f字段代表纯粹的小数，它的左侧即为小数点的位置。规格化数的隐藏位默认值为1，不在格式中表达。

在IEEE-754 标准下，浮点数一共分为：

NaN：即Not a Number。非数的指数位全部为1 同时尾数位不全为0。在此前提下，根据尾数位首位是否为1，NaN 还可以分为SNaN 和QNaN 两类。前者参与运算时将会发生异常。

无穷数：指数位全部为1 同时尾数位全为0。大。

规格化数：指数位不全为1 同时尾不全为0。此时浮点数的隐含位有效，其值为1。

非规格化数：指数位全为0 且尾数位不全为0。此时隐含位有效值变为0。另外需要注意，以单精度时为例，真实指数e并非0-127=-127，而是-126，这样一来就与规格化下最小真实指数e=1-127=-126 达成统一，形成过渡。非规格化数隐函位表示为了0，此时表示的数据更小，提高了精度（0.1和1.1,隐含位是0的表示的更小）。

0 ：指数位与尾数位都全为0，根据符号位决定正负。

float的范围

注意：指数的范围是-126～127，不是我们认为的-127～128 ，这个是IEEE-754标准中定义的。

（1）正数最大值如下：

高地址----------------------------->低地址

0 （1111 1110）（ 111 1111 1111 1111 1111 1111）

当我们令指数位为：1111 1110 =254 (此处不能是1111 1111=255，1111 1111是NaN)，则指数为254-127=127

尾数位全为1，则最大数为1.11111111111111111111111*2^127=(2-2^-23)*2^127=3.4028*10^38，正规格化数中的最大。其中1.111 1111 1111 1111 1111 1111+ 0.000 0000 0000 0000 0000 0001=2，0.000 0000 0000 0000 0000 0000=2-2^{-23}

当符号位为1时，是表示绝对值最大的负数

高地址----------------------------->低地址

1（1111 1110）（ 111 1111 1111 1111 1111 1111）

表示-3.40*10^38

所以范围是-3.40*10^38 到 3.40*10^38

（2） float最小值（除0以外的最小值）

高地址----------------------------->低地址

0 （0000 0001）（000 0000 0000 0000 0000 0001）

当我们令指数位为：0000 0001 =1(此处不能是0000 0000=0，指数全零是非规格化数)则指数为1-127=126

为：1.0000 0000 0000 0000 0000 001*2^-126= 1.175e-038

float精度

float 类型的数据精度取决于尾数，首先是在不考虑指数的情况下23位尾数能表示的范围是[0, 2^23−1]，实际上尾数位前面还隐含了一个"1"，所以应该是一共24位数字，所能表示的范围是[0, 2^24-1]（因为隐含位默认是"1"，所以表示的数最小是1不是0)，看到这24位能表示的最大数字为2^{24}-1，换算成10进制就是16777215，那么[0, 16777215]都是能精确表示的

16777215 这个数字可以写成1.1111111 11111111 1111111 * 2^{23}，所以这个数可以精确表示，然后考虑更大的数16777216，因为正好是2的整数次幂，可以表示1.0000000 00000000 00000000 * 2^{24}所以这个数也可以精确表示，在考虑更大的数字16777217，这个数字如果写成上面的表示方法应该是 1.0000000 00000000 00000000 1 * 2^{24}，但是这时你会发现，小数点后尾数位已经是24位了，23位的存储空间已经无法精确存储，这时浮点数的精度问题也就是出现了。

看到这里发现 16777216 貌似是一个边界，超过这个数的数字开始不能精确表示了，那是不是所有大于16777216的数字都不能精确表示了呢？其实不是的，比如数字 33554432 就可以就可以精确表示成1.0000000 00000000 00000000 * 2^{25}，说到这里结合上面提到的float的内存表示方式，我们可以得出大于 16777216 的数字（不超上限），只要可以表示成小于24个2的n次幂相加，并且每个n之间的差值小于24就能够精确表示。换句话来说所有大于 16777216 的合理数字，都是[0, 16777215]范围内的精确数字通过乘以2^n得到的，同理所有小于1的正数，也都是 [0, 16777215] 范围内的精确数字通过乘以2^n得到的，只不过n取负数就可以了。

16777216 已经被证实是一个边界，小于这个数的整数都可以精确表示，表示成科学技术法就是1.6777216 * 10^{7}，从这里可以看出一共8位有效数字，由于最高位最大为1不能保证所有情况，所以最少能保证7位有效数字是准确的，这也就是常说float类型数据的精度。

float小数

从上面的分析我们已经知道，float可表示超过16777216范围的数字是跳跃的，同时float所能表示的小数也都是跳跃的，这些小数也必须能写成2的n次幂相加才可以，比如0.5、0.25、0.125…以及这些数字的和，像5.2这样的数字使用float类型是没办法精确存储的，5.2的二进制表示为101.0011001100110011001100110011……最后的0011无限循环下去，但是float最多能存储23位尾数，那么计算机存储的5.2应该是101.001100110011001100110，也就是数字 5.19999980926513671875，计算机使用这个最接近5.2的数来表示5.2。关于小数的精度与刚才的分析是一致的，当第8位有效数字发生变化时，float可能已经无法察觉到这种变化了。

读取小数存储的原始值（举例）

stm32 中小数存储计算

counter+=0.001；

if（counter==0.01）//该条件永远不会成立，十进制小数转换二进制的问题导致，应该转换为大于等于或者小于等于

asda=*(vu32*)&counter;可通过该句读取counter在内存中的存储的数据；

asda=*(vu32*)&counter;取counter地址，指针类型强制转换成vu32*，然后*取内容。

0.01为0x3C23D70A，转换成2进制

0011 1100 0010 0011 1101 0111 0000 1010

符号位 0 代表正数

指数011 1100 0  为120  （120-127）=-7，小数点左移动7。（如果是130则130-127=3，表示小数点右移动三位。）

尾数01000111101011100001010  左边有一个可以理解的二进制点。此数字从浮点数的存储形式中省略。在尾数的开头加上1和二进制点可得到以下值：

1.0100 0111 1010 1110 0001 0100 左移7位为0.0000 0010 1000 1111 0101 1100 0010 1000

http://www.ab126.com/system/7348.html （带小数的二进制转换十进制计算器的网址）

转换为十进制0.00999999977648258

实际在watch窗口中观察写入0.01为0.00999999978（被四舍五入了）