雷达成像近似二维模型及其超分辨算法

图1　二维雷达目标几何图

　　由于观测角Δθ很小，取近似sin(nδθ)≈nδθ和cos(nδθ)≈1，则式(2)可近似写成:

　(3)

式中
　　式(3)指数项中的第三项是时频耦合项，它是线频调信号(其模糊函数为斜椭圆)所特有的，如果采用窄脉冲发射，则该项不存在.将该项忽略，则式(3)成为常用的回波二维正弦信号模型.
　　实际上，式(3)的第三项系“距离移动”项，它与散射点的横坐标xk成正比，目标区域大时必须考虑，而且这还远远不够，散射点的多普勒移动也必须考虑.为此，令sin(nδθ)≈nδθ和cos(nδθ)≈1-(nδθ)2/2，则式(2)较精确的近似式可写成：

　(4)

式(4)与式(3)相比较，指数中增加了两项，其中前一项是“多普勒移动”项，纵坐标yk越大，影响也越大，这可以补充式(3)之不足；而后项是时频耦合的多普勒移动项，由于Mγ/Fs<

　(5)

　　需要指出，每个散射点的参数之间存在下述关系：ωk/μk=2γ/Fsfcδθ2和k/vk=fcFs/γδθ.由于雷达参数(fc,γ,Fs)和运动参数(δθ)均已知，所以待估计的五个参数中只有三个是独立的.本文假设五个参数是独立的，而在成像计算中已考虑参数之间的关系.
　　设{ξk}Kk=1≡{αk,ωk,k,μk,vk}Kk=1，现在我们要从y(m,n)中估计参量{ξk}Kk=1.

三、二维推广的RELAX算法
　　对于(5)式所示的信号模型，令：

Y=［y(m,n)］M×N

则　(6)
式中

　　设ξk估计值为，则ξk的估计问题可通过优化下述代价函数解决：

　(7)

式中‖.‖F表示矩阵的Frobenius范数，⊙表示矩阵的Hadamard积.
　　上式中C1的最优化是一个多维空间的寻优问题，十分复杂.本文将RELAX［3］算法推广以求解.为此，首先做以下准备工作，令：

　(8)

　　即假定{i}i=1,2,…,K,i≠k已经求出，则式(7)C1的极小化等效于下式的极小化：

C2(ξk)=‖Yk-αk(aM(ωk)bTN(k)Pk)⊙Dk(vk)‖2F　(9)

令：　　Zk=YkP-1k⊙Dk(-vk)　(10)
　　由于Pk为酉矩阵，矩阵Dk的每个元素的模|Dk(m,n)|=1,显然矩阵Yk与Zk的F范数相同，故C2的极小化等效于下式的极小化：

C3=‖Zk-αkaM(ωk)bTN(k)‖2F　(11)

　　对上式关于αk求极小值就获得αk的估计值k：

k=aHM(ωk)Zkb*N(k)/(MN)　(12)

　　从式(12)可以看出：是Zk归一化的二维离散傅里叶变换在{ωk,k}处的值，所以只要得到估计值{k,k,k,k}，即可通过2D-FFT获得k.
　　将估计值k代入式(11)后，估计值{k,k,k,k}可由下式寻优得到：

　(13)

　　由上式可见，对于固定的{μk,vk}取值,估计值{k,k}为归一化的周期图|aHM(ωk)Zkb*N(k)|2/(MN)主峰处的二维频率值.这样，式(13)的优化问题归结为：在(μk,vk)平面上可能的取值范围内寻找一点{k,k}，在该点处周期图|aHM(ωk)Zkb*N(k)|2/(MN)的主峰值比其余各点处的主峰值都大.所以，我们通过上述二维寻优获得{μk,vk}的估计值{k,k}，再由式(13)得到{ωk,k}的估计值{k,k}.
　　实际中，为了加快运算速度，二维(μk,vk)平面的寻优可以用Matlab中的函数Fmin()实现.
　　在做了以上的准备工作以后，基于推广的RELAX算法的参量估计步骤如下：
　　第一步：假设信号数K=1,分别利用式(13)和式(12)计算1.
　　第二步(2)：假设信号数K=2，首先将第一步计算所得到的1代入式(8)求出Y2，再利用式(13)和式(12)计算2；将计算的2代入式(8)求出Y1，然后利用式(13)和式(12)重新计算1，这个过程反复叠代，直至收敛.
　　第三步:假设信号数K=3,首先将第二步计算所得到的1和2代入式(8)求出Y3，再利用式(13)和式(12)计算3；将计算的3和2代入式(8)求出Y1，然后利用式(13)和式(12)重新计算1；将计算的1和3代入式(8)求出Y2，然后利用式(13)和式(12)重新计算2，这个过程反复叠代，直至收敛.
　　剩余步骤：令K=K+1,上述步骤持续进行，直到K等于待估计信号数.
　　上述过程中的收敛判据与RELAX算法的收敛判据相同，即比较代价函数C1在两次叠代过程中的变化值，如果这个变换值小于某个值，如ε=10-3，则认为过程收敛.

四、数值模拟
　　1.算法参数估计性能模拟
　　模拟数据由式（5）产生，M=10,N=10，信号数K=2.信号参数和实验条件如表1所示,为复高斯白噪声.注意两信号的频率差小于FFT的分辨率Δf=Δω/(2π)=0.1.表1给出了信号参数估计均方根误差的统计结果及相应情形时的C-R界，可见，估计均方根误差与CR界十分接近.另外表中还给出了估计均值，与真实值也非常接近.

表1　二维信号的参数估计、CRB及与均方根差的比较

图2　距离走动误差下的RELAX成像结果

图3　距离走动误差下的

图4　RELAX方法估计的信号强度推广RELAX成像结果

图5　推广RELAX方法估计的信号强度

附 录：参数估计的C-R界
　　下面我们给出式(5)所示的二维信号参量估计的C-R界表达式.同时假设式(5)中加性噪声为零均值高斯色噪声，其协方差矩阵未知.令：

y=vec(Y)　(A.1)
e=vec(E)　(A.2)
dk=vec(Dk)　(A.3)

式中vec(X)=(xT1,xT2，…，xTN)T，向量xn(n=1,2,…,N)为矩阵X的列向量.我们将式(5)改写为如下向量形式：

　(A.4)

式中表示Kronecker积,Ω=［{［P1bN(1)］aM(ω1)}⊙d1…{［PkbN(K)］aM(ωK)}⊙dK］,α=(α1，α2，…，αK)T.
　　令Q=E(eeH)为e的协方差矩阵，则对于由式(A.4)所示的二维信号模型，其Fisher信息阵(FIM)的第ij个元素推广的Slepian-Bangs公式为［5,6］:
(FIM)ij=tr(Q-1Q′iQ-1Q′j)+2Re［(αHΩH)′iQ-1(Ωα)′j］　(A.5)
式中X′i表示矩阵X对第i个参数求导，tr(X)为矩阵的迹，Re(X)为矩阵的实部.由于Q与Ωα中的参量无关，而Ωα亦与Q的元素无关，显然FIM为一块对角阵.所以待估计参量的C-R界矩阵由(A.5)式的第二项得到.

令：η=(［Re(α)］T［Im(α)］TωTTμTvT)T　(A.6)

式中ω=(ω1，ω2，…，ωK)T,μ=(μ1,μ2,…,μK)T,=(1，2，…，K)T,v=(v1,v2,…,vK)T.
令：F=［Ω　jΩ　DωΘ　DΘ　DμΘ　DvΘ］　(A.7)
式中矩阵Dω、D、Dμ、Dv的第k列分别为：［{［PkbN(k)］aM(ωk)}⊙dk］/ωk、［{［PkbN(k)］aM(ωk)}⊙dk］/k、［{［PkbN(k)］aM(ωk)}⊙dk］/μk、［{［PkbN(k)］aM(ωk)}⊙dk］/vk，Θ=diag{α1　α2　…　αK}.则关于参量向量η的CRB矩阵为

CRB(η)=［2Re(FHQ-1F)］-1　(A.8)