DSP编程技巧之22---详解浮点运算的定点编程

　　既然是定点处理器，那么其对定点数，或者说字面意义上的“整数”进行处理的效率就会比它处理浮点类型的运算要高的多。所以在定点处理器上，我们使用定点的整数来代表一个浮点数，并规定整数位数和小数位数，从而方便地对定点数和浮点数进行转换。以一个32位的定点数为例，假设转换因子为Q，即32位中小数的位数为Q，整数位数则为31-Q(有符号数的情况)，则定点数与浮点数的换算关系为：

　　定点数=浮点数×2^Q

　　例如，浮点数-2.0转换到Q为30的定点数时，结果为：

　　定点数=-2×2^30=-2147483648

　　32位有符号数的表示范围是：-2147483648到2147483647。如果我们把有符号定点数的最大值2147483647转换为Q为30对应的浮点数，则结果为：

　　浮点数2147483647/2^30=1.999999999

　　从上面的两个计算例子中也可以看出，在Q30格式的情况下，最大的浮点数只能表示到1.999999999，如果我们想把浮点数2.0转换为Q30的定点数，则产生了溢出，即造成了1e-9的截断误差。在此我们列出Q0到Q30对应的范围和分辨率如下表所示：

　　如果你嫌自己计算麻烦的话，可以借助Matlab的命令来求取它们的转换，例如，在Matlab的命令窗口中输入：

　　q = quantizer('fixed', 'ceil', 'saturate', [32 30]);

　　FixedNum=bin2dec(num2bin(q,1.999999999));

　　回车之后就可以看到1.999999999转成Q30之后的定点数了。

　　弄清楚了单个浮点数和定点数之间的转换关系，接下来就需要了解一下两个定点数所代表的浮点数进行运算时，是如何转换的了。根据乘法的结合律、分配率，浮点数转换之后的定点数是可以直接运算的，例如：

　　1. 不同Q格式的转换

　　设有定点数Fixed1=Float1*2^Q1，如果把它用为Q2这个不同精度/表示范围的定点数来表示，则有Fixed2=Float1*2^Q2。所以不同的Q格式直接的转换为：

　　Fixed2=Fixed1*2^Q2/2^Q1=Fixed1*2^(Q2-Q1)

　　因为Fixed1、Fixed2都是定点数，所以在C编程的情况下，我们可以使用高效的左移、右移操作来完成这个乘以2^(Q2-Q1)的操作。

　　2. 两个相同Q格式的定点数:

　　Fixed1=Float1*2^Q

　　Fixed2=Float2*2^Q

　　则加法操作为：

　　Float1+Float2=Fixed1/2^Q+Fixed/2^Q=(Fixed1+Fixed2)/2^Q

　　对于上述的加法操作，如果定点数的和Fixed1+Fixed2超过了32位整数的极值，则会发生溢出现象，造成结果的不正确，此时我们只能先损失一倍的精度，把Float1、Float2的Q值变为Q-1.

　　乘法操作为：

　　Float1*Float2=Fixed1/2^Q*Fixed/2^Q= Fixed1*Fixed2/2^(2Q)

　　同样的道理，如果Fixed1*Fixed2之后的定点数超过了32位整数的极值，则我们也需要提前对它们进行一下折算，变换一下它们的Q值。这就涉及到对结果的一个预估问题，也是定点编程不如浮点编程简单、高效的不足之一。

　　3. 两个不同Q格式的定点数:

　　Fixed1=Float1*2^Q1

　　Fixed2=Float2*2^Q2

　　运算的规则是结合了前面的两种情况，只不过多了额外的转换工作：要么把其中的一个Q1格式的定点数先转换为另一个Q2格式，要么把它们都转换为一个中间值Q3格式的定点数，然后再进行运算。

　　这些运算虽然并不复杂，但是如果在数学运算比较多的情况下，一个个的进行手工转换还是比较麻烦的，还好在近些年的处理器特别是DSP芯片中，在其BootROM中都内置了强大的数学表来帮助我们完成这些转换工作，我们只要按照一定的格式进行书写，那么编译器就会自动调用相关的库函数来完成了。以TI的C28x系列DSP为例，我们可以使用现成的IQMath库来完成这些繁琐的工作。它的使用方法示例为

　　1)在工程属性中引用IQmath.lib库文件

　　2)在使用IQMath库函数的主程序中引用相关的头文件：

　　#include

　　#define PI 3.14159

　　_iq input, sin_out;

　　void main(void )

　　{

　　/* 0.25 x PI radians represented in Q29 format*/

　　input=_IQ29(0.25*PI);

　　sin_out =_IQ29sin(input);

　　}

　　其中，我们可以在头文件中指定一个全局的Q格式，在不需要特别指定Q值的时候，使用默认的值。

　　例如，在头文件中#define Q 28，则我们在程序中调用IQMath库函数时，

　　sin_out =_IQsin(input);//使用全局定义的Q28格式

　　sin_out =_IQ29sin(input); //特别指定使用Q29格式

　　默认情况下，编译器使用的Q格式是24，如果追求更高的精度，则可以使用更大的Q值，但是相应地表示的浮点数的范围也要小，此时可以考虑使用标么值，使得大部分变量的值都处在-1到1的区间内。

　　此外，在C语言编程时，调用方式是_IQsin(input)，在C++编程时，则直接使用IQsin(input)就可以了。

　　3)在CMD链接文件中指明IQMath数学表的位置：

　　例如，对于281x器件：

　　MEMORY

　　{

　　PAGE 0:

　　PRAMH0 (RW) : origin = 0x3f8000, length = 0x001000

　　PAGE 1:

　　IQTABLES (R) : origin = 0x3FF000, length = 0x000b50

　　DRAMH0 (RW) : origin = 0x3f9000, length = 0x001000

　　}

　　SECTIONS

　　{

　　IQmathTables : load = IQTABLES, type = NOLOAD, PAGE = 1

　　IQmathTablesRam : load = DRAMH0, PAGE = 1

　　IQmath : load = PRAMH0, PAGE = 0

　　}

　　对于2833x器件：

　　MEMORY

　　{

　　PAGE 0:

　　PRAML0 (RW) : origin = 0x008000, length = 0x001000

　　PAGE 1:

　　IQTABLES (R) : origin = 0x3FE000, length = 0x000b50

　　IQTABLES2 (R) : origin = 0x3FEB50, length = 0x00008c

　　DRAML1 (RW) : origin = 0x009000, length = 0x001000

　　}

　　SECTIONS

　　{

　　IQmathTables : load = IQTABLES, type = NOLOAD, PAGE = 1

　　IQmathTables2 > IQTABLES2, type = NOLOAD, PAGE = 1

　　{

　　IQmath.lib (IQmathTablesRam)

　　}

　　IQmathTablesRam : load = DRAML1, PAGE = 1

　　IQmath : load = PRAML0, PAGE = 0

　　}

　　对于280x器件：

　　MEMORY

　　{

　　PAGE 0:

　　PRAML0 (RW) : origin = 0x008000, length = 0x001000

　　PAGE 1:

　　IQTABLES (R) : origin = 0x3FE000, length = 0x000b50

　　IQTABLES2 (R) : origin = 0x3FEB50, length = 0x00008c

　　IQTABLES3 (R) : origin = 0x3FEBDC, length = 0x0000AA

　　DRAML1 (RW) : origin = 0x009000, length = 0x001000

　　}

　　SECTIONS

　　{

　　IQmathTables : load = IQTABLES, type = NOLOAD, PAGE = 1

　　IQmathTables2 > IQTABLES2, type = NOLOAD, PAGE = 1

　　{

　　IQmath.lib (IQmathTablesRam)

　　}

　　IQmathTables3 > IQTABLES3, type = NOLOAD, PAGE = 1

　　{

　　IQmath.lib (IQmathTablesRam)

　　}

　　IQmath : load = PRAML0, PAGE = 0

　　}

　　为了方便数学运算的高效处理，IQMath库中还包含了常用的数学运算函数，包括：

　　1. 格式转换

　　IQN浮点转定点，IQNtoF定点转浮点，atoIQN字符串转定点，IQNtoa定点转字符串，IQNint返回定点数的整数部分，IQNfrac返回定点数的小数部分，IQtoIQN和IQNtoIQ为指定Q格式与全局Q格式的互转，IQtoQN和QNtoIQ为32位与16位互转，IQmpy2, 4, 8..64即左移，IQdiv2, 4, 8..64即右移

　　2. 算数运算

　　IQNmpy和IQNrmpy：乘法，IQNrsmpy为带饱和的乘法。IQNmpyI32和IQNmpyI32int为定点数与32位整数的乘法，IQNmpyI32frac可返回结果的小数位数。QNmpyIQX：不同Q格式的定点数相乘。

　　IQNdiv：除法运算。

　　3. 三角运算

　　包括IQNasin，IQNsin，IQNsinPU，IQNacos，IQNcos，IQNcosPU，IQNatan2，IQNatan2PU，IQNatan。

　　其中，PU的含义在该函数中π已经折算为1。例如：

　　sin(0.25*π)=sinPU(0.25)。

　　4. 代数运算

　　包括IQNexp，IQNlog，IQNsqrt，IQNisqrt，IQNmag，IQNabs，IQsat